浙江省2023年中考数学真题分类汇编05 二次函数

试卷更新日期：2023-07-09 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知点 $M (- 4 ， a - 2) ， N (- 2 ， a) ， P (2 ， a)$ 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = a x^{2} - a (a \neq 0)$ 与直线 $y = k x$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{1} + x_{2} < 0$ ，则直线 $y = a x + k$ 一定经过（）．

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限

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3. 设二次函数 $y = a (x - m) (x - m - k) (a > 0 ， m ， k$ 是实数 $)$ ，则（）

A、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ B、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$ C、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ D、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} - (3 a + 1) x + 3 (a \neq 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、点 $(1 ， 2)$ 在该函数的图象上 B、当 $a = 1$ 且 $- 1 \leq x \leq 3$ 时， $0 \leq y \leq 8$ C、该函数的图象与x轴一定有交点 D、当 $a > 0$ 时，该函数图象的对称轴一定在直线 $x = \frac{3}{2}$ 的左侧

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5. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t² ，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是（）

A、5 B、10 C、1 D、2

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二、填空题

6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一个图形上的点都在一边平行于 $x$ 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数 $y =$ $(x - 2)^{2} (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 $O A B C$ .若二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 图象的关联矩形恰好也是矩形 $O A B C$ ，则 $b =$ .

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三、解答题

7. 设二次函数

y = a x^{2} + b x + 1

，（

a \neq 0

，

b

是实数）．已知函数值

y

和自变量

x

的部分对应取值如下表所示：

$x$	…	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	$m$	1	$n$	1	$p$	…

(1)、若

m = 4

，求二次函数的表达式；

(2)、写出一个符合条件的

x

的取值范围，使得

y

随

x

的增大而减小．

(3)、若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求

a

的取值范围．

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8. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图象经过点 $A (1 ， - 2)$ 和 $B (0 ， - 5)$ ．

(1)、求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．

(2)、当 $y \leq - 2$ 时，请根据图象直接写出x的取值范围．

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9. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ .

(1)、当 $b = 4 ， c = 3$ 时，
①求该函数图象的顶点坐标.
②当 $- 1 ⩽ x ⩽ 3$ 时，求 $y$ 的取值范围.

(2)、当 $x ⩽ 0$ 时， $y$ 的最大值为2；当 $x > 0$ 时， $y$ 的最大值为3，求二次函数的表达式.

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10. 在二次函数 $y = x^{2} - 2 t x + 3 (t > 0)$ 中，

(1)、若它的图象过点 $(2 ， 1)$ ，则t的值为多少？

(2)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时，y的最小值为 $- 2$ ，求出t的值：

(3)、如果 $A (m - 2 ， a) ， B (4 ， b) ， C (m ， a)$ 都在这个二次函数的图象上，且 $a < b < 3$ ，求m的取值范围。

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11. 已知点(-m，0)和(3m，0)在二次函数y=ax²+bx+3(a，b是常数，a≠0)的图象上。

(1)、当m=-1时，求a和b的值：

(2)、若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围：

(3)、求证：b²+4a=0．

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12. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m的 $A$ 处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以 $O$ 为原点建立如图所示直角坐标系.

(1)、求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。

(2)、对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点 $O$ 正上方2.25m处?

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13. 【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间t/min	0	10	20	30	40
水面高度h/cm（观察值）	30	29	28.1	27	25.8

任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．

【建立模型】

小组讨论发现：“ $t = 0$ ， $h = 30$ ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用 $t = 0$ 时， $h = 30$ ； $t = 10$ 时， $h = 29$ 这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．

任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．

⑵请确定经过 $(0 ， 30)$ 的一次函数解析式，使得w的值最小．

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．

任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．

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14. 如图，直线 $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x + \sqrt{5}$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点A，B，抛物线的顶点 $P$ 在直线AB上，与 $x$ 轴的交点为C，D，其中点 $C$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ .直线BC与直线PD相交于点 $E$ .

(1)、如图2，若抛物线经过原点 $O$ .
①求该抛物线的函数表达式；②求 $\frac{B E}{E C}$ 的值.

(2)、连结 $P C ， ∠ C P E$ 与 $∠ B A O$ 能否相等？若能，求符合条件的点 $P$ 的横坐标；若不能，试说明理由.

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