广东省揭阳市惠来县2022-2023学年八年级下册数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-07-07 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列选项中是分式的是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{x}{3}$ C、 $\frac{2 x}{x - 1}$ D、 $\frac{2}{3} + x$

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3. 若 $a > b$ ，那么下列各式中正确的是（）

A、 $a - 2 < b - 2$ B、 $- a > - b$ C、 $- 2 a < - 2 b$ D、 $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$

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4. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（）

A、 $2 a - 1 = a (2 - \frac{1}{a})$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ D、 $x^{2} + 6 x + 8 = x (x + 6) + 8$

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5. 把多项式 $2 a^{2} - 4 a$ 分解因式，应提取的公因式是（）

A、 $a$ B、 $2$ C、 $a^{2}$ D、 $2 a$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，则该三角形的面积为（）

A、 $12$ B、 $6$ C、 $10$ D、 $8$

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7. 将分式 $\frac{x^{2} y}{x - y}$ 中的 $x$ ， $y$ 的值同时扩大为原来的 $3$ 倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的 $6$ 倍 B、扩大为原来的 $9$ 倍 C、不变 D、扩大为原来的 $3$ 倍

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8. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列等式一定正确的是（）

A、 $A D = C D$ B、 $A C = B D$ C、 $A B = C D$ D、 $A D = A O$

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 42 °$ ， $E$ 为 $A D$ 上一点，且 $D E = D C$ ，过 $D$ 作 $D F ⊥ E C$ 交 $B C$ 于 $F$ ，则 $∠ D F C$ 的度数为（）

A、 $14 °$ B、 $18 °$ C、 $21 °$ D、 $22 °$

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10. 某车间共有30名工人，现要加工A零件630个和B零件480个．已知每人每天可以加工A零件15个或B零件10个，如何分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人每天只能加工一种零件）．设安排x名工人加工A零件，由题意，可列方程（）

A、 $\frac{630}{x} = \frac{480}{30 - x}$ B、 $\frac{630}{15 x} = \frac{480}{10 (30 - x)}$ C、 $\frac{630}{10 (30 - x)} = \frac{480}{15 x}$ D、 $\frac{630}{30 - x} = \frac{480}{x}$

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 分解因式： $2 a^{2} - 8 =$ ．

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12. 如果点 $M (1 ， 4 - m)$ 在第四象限内，那么 $m$ 的取值范围是．

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13. 若一个多边形的每个外角都相同且为 $72 °$ ，则这个多边形有条边．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，其中点 $A (- 1 ， 2)$ ，点 $B (- 2 ， - 1)$ ，点 $C (2 ， - 1)$ ，则点 $D$ 的坐标是．

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15. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{m x}{x - 1} = 1 - \frac{3}{1 - x}$ 无解，则 $m$ 的值是．

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三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 计算：

(1)、 $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ ；

(2)、 $1 - \frac{x - 2}{x} \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x}$ ．

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17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{2 - x}{3} + \frac{1 + x}{6} < 1 \\ 2 (x - 2) \leq 1 - 3 x \end{array}$ ，并写出不等式组的整数解．

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18. 如图，已知 $E$ ， $F$ 分别是▱ $A B C D$ 的边 $A B$ ， $C D$ 上的两点，且 $∠ A D E = ∠ C B F$ ．

(1)、求证： $D E = B F$ ；

(2)、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 的对应点 $D$ 刚好落在 $A C$ 边上，连接 $E C$ ．

(1)、若 $∠ B A C = 50 °$ ，求 $∠ B C E$ 的度数；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，求四边形 $A B C E$ 的面积．

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20. 六一儿童节来临之际，某商店用 $3000$ 元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了 $20 %$ ，同样用 $3000$ 元购进的数量比第一次少了 $10$ 件．

(1)、求第一次每件的进价为多少元？

(2)、若两次购进的玩具售价相同，且全部售完后利润不低于 $1700$ 元，则售价至少定为多少元？

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21. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如： $4 = 2^{2} - 0^{2}$ ， $12 = 4^{2} - 2^{2}$ ， $20 = 6^{2} - 4^{2}$ ，因此 $4$ ， $12$ ， $20$ 这三个数都是“神秘数”．

(1)、猜想 $200$ “神秘数” $($ 直接填“是”或者“不是” $)$ ；

(2)、设两个连续偶数为 $2 n$ 和 $2 n - 2 ($ 其中 $n$ 取正整数 $)$ ，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4倍数吗？为什么？

(3)、两个连续奇数 $($ 取正整数 $)$ 的平方差是“神秘数”吗？为什么？

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22. 已知：在▱ $A B C D$ 中，动点 $P$ 在 $A D$ 边上，以每秒 $0.5 c m$ 的速度从点 $A$ 向点 $D$ 运动．

(1)、如图1，在运动过程中，若 $C P$ 平分 $∠ B C D$ ，且满足 $C D = C P$ ，求 $∠ B$ 的度数．

(2)、如图2，另一动点 $Q$ 在 $B C$ 边上，以每秒 $2 c m$ 的速度从点 $C$ 出发，在 $B C$ 间往返运动， $P$ ， $Q$ 两点同时出发，当点 $P$ 到达点 $D$ 时停止运动 $($ 同时 $Q$ 点也停止 $)$ ，若 $A D = 6 c m$ ，求当运动时间为多少秒时，以 $P$ ， $D$ ， $Q$ ， $B$ 四点组成的四边形是平行四边形．

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23. 在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图， $E F$ 为直尺的一条边，四边形 $A B C D$ 为一正方形纸板 $(∠ D A B$ 、 $∠ A B C$ 、 $∠ B C D$ 、 $∠ D$ 均为直角 $)$

(1)、【操作发现】
如图 $①$ 小组成员小方把正方形的一条边 $A B$ 与 $E F$ 重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了 $∠ D A F$ 的平分线 $A Q$ ，交正方形的边于点 $P$ ．
则此时 $∠ P A B$ 的度数为； $∠ P A B$ 与 $∠ D A E$ 的度数之间的关系为．

(2)、【问题探究】
受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图 $②$ 放置，若此时记 $∠ D A E$ 的度数为 $α$ ，其他条件不变，请帮小丽同学探究： $∠ P A B$ 与 $∠ D A E$ 的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．

(3)、【拓展延伸】
组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图 $③$ 放置，刘老师同样做出了 $∠ D A F$ 的平分线 $A Q$ ，请直接写出 $∠ Q A B$ 与 $∠ D A E$ 的度数之间的关系．

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