广东省清远市2022-2023学年高一下学期数学期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-07-07 类型：期末考试

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一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知i为虚数单位，则(2+3i)(3+2i)=（）

A、13i B、-13i C、12+13i D、12-13i

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2. 已知向量a=(m，1)，b=(4，-3)，若a∥b，则实数m=（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、- $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、- $\frac{3}{4}$

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3. 某高中共有学生2400人，其中高一、高二、高三的学生人数比为5∶4∶6，现用分层随机抽样的方法从该高中所有学生中抽取一个容量为120的样本，则应从高三年级抽取的人数为（）

A、32 B、40 C、48 D、56

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4. 一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则V=（）

A、 $\frac{20 π}{3}$ B、6π C、 $\frac{16 π}{3}$ D、8π

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5. 已知cos θ+cos(θ- $\frac{π}{3}$ )= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则cos(θ- $\frac{π}{6}$ )=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、- $\frac{7}{9}$ D、- $\frac{1}{3}$

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6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=4 $\sqrt{2}$ ，则△ABC的面积为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4 $\sqrt{2}$

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8. 瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线.已知M，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足| $\vec{M A}$ |=| $\vec{M B}$ |=| $\vec{M C}$ |， $\vec{N A}$ + $\vec{N B}$ + $\vec{N C}$ =0， $\vec{O A}$ · $\vec{O B}$ = $\vec{O B}$ · $\vec{O C}$ = $\vec{O C}$ · $\vec{O A}$ ， a $\vec{P A}$ +b $\vec{P B}$ +c $\vec{P C}$ =0(a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边)，则欧拉线一定过（）

A、M，N，P B、M，N，O C、M，O，P D、N，O，P

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二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9. 已知一组数据x₁ ， x₂ ， …，x_n的平均数为a，中位数为b，方差为c，众数为d，数据-2x₁+1，-2x₂+1，…，-2x_n+1的平均数为a₁ ，中位数为b₁ ，方差为c₁ ，众数为d₁ ，则（）

A、a₁=-2a+1 B、b₁无法确定 C、c₁=-2c+1 D、d₁=-2d+1

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10. 已知函数f(x)=sin xcos x，则（）

A、f(x)的最小正周期为2π B、f(x)为奇函数 C、f(x)在区间[ $\frac{3 π}{4}$ ， $\frac{5 π}{4}$ ]上单调递增 D、f(x)的最小值为- $\frac{1}{2}$

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11. 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BA= $\sqrt{2}$ ， AC=2，AA₁=3，点E在棱AA₁上，AE=1，D是A₁C₁的中点，则（）

A、三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积为3 $\sqrt{2}$ +3 B、三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的表面积为13π C、B₁C₁∥平面BCD D、CE⊥平面B₁DE

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12. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a²-b²=c，则（）

A、A=2B B、B=2A C、a的取值范围是(1， $\sqrt{3}$ ) D、a的取值范围是( $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ )

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三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知sin α=-2cos α，则tan(α+ $\frac{π}{4}$ )= .

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14. 互不相等的4个正整数从小到大排序为a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为.

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15. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，定义a×b为向量a与b的向量积，a×b是一个向量，它的模|a×b|=|a||b|sin θ.若a·b=k|a×b|，则

(1)、当k= $\sqrt{3}$ 时，θ=；

(2)、若向量a与b为单位向量，当k= $\frac{\sqrt{15}}{15}$ 时，a在a+b上的投影向量(与a+b同向的单位向量为e)为.

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16. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA₁三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB₁的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得截面的面积为.

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四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知复数z的虚部为-2，z在复平面上对应的点在第三象限，且满足|z|= $\sqrt{5}$ .

(1)、求z；

(2)、已知m∈R， ${\frac{| \bar{z} |}{\bar{z}}}^{2}$ +m为纯虚数，求m的值.

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18. 在△ABC中， $\vec{B C}$ =3 $\vec{B D}$ ， $\vec{A E}$ = $\vec{E C}$ ， $\vec{A F}$ =3 $\vec{F D}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{B E}$ ， $\vec{B F}$ ，并判断B，E，F三点是否共线；

(2)、若| $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ |=| $\vec{A B}$ - $\vec{A C}$ |= $\sqrt{2}$ ， $\vec{A D}$ · $\vec{B C}$ =- $\frac{1}{3}$ ，求△ABC的面积.

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19. 某市对该市全体学生举行了一次关于环保相关的测试，统计人员从Ａ校随机的，聚聚300名学生，从Ｂ校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[50，100]内，并将收集到的数据按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图所示。

(1)、估计A校这300名学生成绩的75%分位数；

(2)、根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为μ₁ ， B校抽取的400名学生成绩的平均值为μ₂ ，以及A，B两校抽取的700名学生成绩的平均值为μ₀ ，试比较μ₀和 $\frac{μ_{1} + μ_{2}}{2}$ 的大小.

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20. 函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0，ω>0，|φ|< $\frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示.已知A(- $\frac{1}{6}$ ， 0)，B( $\frac{1}{3}$ ， M)，C(x₀ ， -M)，AB⊥AC.

(1)、求x₀和f(x)的解析式；

(2)、将f(x)的图象向右平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[0， $\frac{1}{2}$ ]上的值域.

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21. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，absin B+acsin C-a²sin A=bcsin A.

(1)、求A；

(2)、若4a+ $\sqrt{7}$ b=2 $\sqrt{7}$ c，求sin C.

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22. 如图，在正三棱台ABC-A₁B₁C₁中，AB=2A₁B₁=4，AA₁= $\sqrt{13}$ .

(1)、证明：AA₁⊥BC.

(2)、过B₁C₁的平面α交AB，AC分别于E，F，若AA₁∥平面α，求直线BB₁与平面α所成角的正弦值.

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