浙江省绍兴市2022-2023学年高二（下）数学期末试卷

试卷更新日期：2023-07-07 类型：期末考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合 $A = {x | x ⟩ 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0 ， x \in R}$ ，那么 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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2. 若 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 互相垂直，且 $\vec{c} = \sqrt{5} \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，记 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $c o s θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ .据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据： $\sqrt{10} \approx 3.16$ ）（）

A、9.46倍 B、31.60倍 C、36.40倍 D、47.40倍

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5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（）

A、27种 B、36种 C、54种 D、72种

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6. 若 $s i n θ + 2 c o s θ = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则（）

A、 $t a n 2 θ = - \frac{3}{4}$ B、 $t a n 2 θ = \frac{3}{4}$ C、 $s i n 2 θ = - \frac{3}{5}$ D、 $s i n 2 θ = \frac{3}{5}$

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7. 在棱长为10的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内的点， $P$ 到 $A_{1} D_{1}$ 和 $A A_{1}$ 的距离分别为3和2，过点 $P$ 且与 $A_{1} C$ 平行的直线交正方体表面于另一点 $Q$ ，则 $| P Q | =$ （）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $7 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2) + f (x) = f (8)$ ， $f (2 x + 1)$ 为奇函数， $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{k = 1} k f (k - \frac{1}{2}) =$ （）

A、-11 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{21}{2}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68，71，72，72，82

乙66，70，72，78，79

则（）

A、甲组数据的极差小于乙组数据的极差 B、甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C、甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D、甲组数据的第60百分位数等于乙组数据的第60百分位数

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10. 函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $\frac{2 π}{3} < T < 2 π$ ，且 $x = \frac{π}{8}$ 是 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $x = - \frac{π}{4}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点 C、 $y = f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{4})$ 有2个极值点 D、直线 $y = \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一条切线

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11. 在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $O$ 是 $△ A B C$ 的中心， $A B = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ，则（）

A、 $O B_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ B、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{13 \sqrt{3}}{6}$ C、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积为 $12 π$ D、侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所在平面截正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球所得截面的面积为 $\frac{7 π}{3}$

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12. 已知 $a > 0$ ，且 $a + e^{b} = 2$ ，则（）

A、 $a + b \leq 1$ B、 $l n a + e^{b} \leq 1$ C、 $e^{a} + b \geq 2$ D、 $l n a - | b | \leq 0$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为．

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14. 已知 $(1 - \frac{1}{x}) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中x³项的系数为．

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15. 甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为.

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16. 已知正 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，点 $B$ ， $C$ 均在平面 $α$ 外 $($ 位于平面 $α$ 的同侧 $)$ ，且在平面 $α$ 上的射影分别为 $B'$ ， $C'$ ， $∠ B' A C' = 90 °$ ，设 $B C$ 的中点为 $D$ ，则直线 $A D$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值的取值范围是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} s i n x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - c o s x)$ ， $x \in R$ ．

(1)、若 $x = 0$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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18. 中国电动汽车重大科技项目的研发开始于2010年，经过一系列的科技攻关以及奥运、世博、“十城千辆”示范平台等应用拉动，中国电动汽车建立起了具有自主知识产权的全产业链技术体系

.

汽车工业协会的最新数据显示，2022年中国电动汽车销量达491万辆，是2010年的10多倍

.

某人打算购买一款国产电动汽车，调查了100辆该款车的续航里程，得到频率分布表如下：

续航里程 $($ 单位： $k m)$	频数	频率
$[100 ， 150)$	3	0.03
$[150 ， 200)$	10	0.10
$[200 ， 250)$	30	0.30
$[250 ， 300)$	35	0.35
$[300 ， 350)$	15	0.15
$[350 ， 400]$	7	0.07

(1)、在图中作出频率分布直方图；

(2)、根据

(1)

中作出的频率分布直方图估计该款车续航里程的众数与平均数．

(

同一组中的数据以该组区间的中间值为代表

)

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a = 2 b s i n A$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ， $c = 3$ ，且 $D$ 为边 $A C$ 的中点，求 $B D$ .

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20. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2$ ，过点 $A$ 向平面 $P C D$ 作垂线，垂足为 $H$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ D H$ ；

(2)、若 $A H = \sqrt{2}$ ，求二面角 $H - B C - D$ 的余弦值．

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21. 为加快绍兴制造强市建设， $《$ 中国制造2025绍兴实施方案 $》$ 指出，到2025年，制造业重点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级 $.$ 某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取10件产品，并分析某项质量指标 $.$ 根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$

(1)、记 $X$ 表示一天内抽取的10件产品质量指标在 $(μ - 3 σ ， μ + 3 σ)$ 之外的件数，求 $P (X \geq 1)$ ；
附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， $0.997 4^{10} \approx 0.9743$

(2)、下面是一天内抽取的10件产品的质量指标：

9.85

10.12

10.02

9.89

10.21

10.26

9.91

10.13

10.17

9.94

若质量指标大于10，10被认定为一等品，现从以上 $10$ 件产品中随机抽取 $4$ 件，记 $Y$ 为，4件产品中一等品的件数，求 $Y$ 的分布列和数学期望．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：存在实数 $a$ 使得 $x_{1} + x_{2} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$ .

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9.85	10.12	10.02	9.89	10.21
10.26	9.91	10.13	10.17	9.94