浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期数学期末试题

试卷更新日期：2023-07-07 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 复数 $- 1 - 2 i$ （i为虚数单位）的虚部是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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3. 函数 $f (x) = {(x - \frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 ${- \infty ， - \frac{1}{2}}$ D、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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4. 已知 $t a n α = - 1 ， α = (0 ， π)$ ，则 $α =$ （）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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5. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如下：

体重变化

体重减轻

体重不变

体重增加

人数

241

571

188

如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（）

A、0.57 B、0.33 C、0.24 D、0.19

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6. 已知平面向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， 6)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 1$ C、1 D、4

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7. 已知球的半径是3，则该球的体积是（）

A、 $4 π$ B、 $12 π$ C、 $24 π$ D、 $36 π$

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8. 对数 $l g a$ 与 $l g b$ 互为相反数，则有（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a - b = 0$ C、 $a b = 1$ D、 $\frac{a}{b} = 1$

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9. 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于 $\frac{1}{60}$ ，则n的最大值为（）
（参考数据： $1 . 5^{7} \approx 17.1 ， 1 . 5^{8} \approx 25.6 ， 1 . 5^{9} \approx 38.4 ， 1 . 5^{10} \approx 57.7$ ）

A、7 B、8 C、9 D、10

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10. 已知 $a ， b$ 为非零实数，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 在 $△ A B C$ 中， $| A B | = 3$ ， $| A C | = 2$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ ，则直线 $A D$ 通过 $△ A B C$ 的（）

A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x + \frac{1}{2})$ 为奇函数，且对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - 3 x) = f (3 x)$ ，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $f (1 - x) = f (x)$ B、 $f (3 x + 1) = f (3 x)$ C、 $f (x - 1)$ 为偶函数 D、 $f (3 x)$ 为奇函数

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）

13. 下列函数是增函数的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $y = - x^{- 1}$

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14. 已知平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，且 $α ∩ β = l$ ，则下列命题不正确的是（）

A、平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B、平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C、平面α内的任意一条直线必垂直于平面β D、过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下列选项为条件，一定可以推出 $A = \frac{π}{3}$ 的有（）

A、 $a = 7 ， b = 8 ， c = 5$ B、 $a = \sqrt{3} ， b = \sqrt{2} ， B = \frac{π}{4}$ C、 $s i n B s i n C = \frac{3}{4}$ D、 $2 s i n^{2} \frac{B + C}{2} + c o s 2 A = 1$

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16. 如图，在棱长为2的正方体 $A C^{'}$ 中，点E为 $C C^{'}$ 的中点，点P在线段 $A^{'} C^{'}$ （不包含端点）上运动，记二面角 $P - A B - D$ 的大小为 $α$ ，二面角 $P - B C - D$ 的大小为 $β$ ，则（）

A、异面直线BP与AC所成角的范围是 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ B、 $t a n (α + β)$ 的最小值为 $- \frac{4}{3}$ C、当 $△ A P E$ 的周长最小时，三棱锥 $B - A E P$ 的体积为 $\frac{10}{9}$ D、用平面 $B E P$ 截正方体 $A C^{'}$ ，截面的形状为梯形

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三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）

17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ f (x - 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) =$ ， $f (l o g_{2} 3) =$ .

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18. 在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为 $4 c m$ ，下底面直径为 $40 c m$ ，高为 $80 c m$ .为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 $c m^{2}$ .

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19. 已知正实数x，y满足 $x y - x - 2 y = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值是.

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $s i n^{2} A = s i n^{2} B + s i n B s i n C$ ，则 $\frac{c}{b}$ 的取值范围为.

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四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用 $A$ 款订餐软件的商家中随机抽取 $100$ 个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在 $[10 ， 70]$ 范围内，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、试估计该市使用 $A$ 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第 $20$ 百分位数.

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22. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ .其中 $ω > 0$ .若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (\frac{π}{2}) = f (\frac{2 π}{3})$ ；

(1)、求 $ω ， φ$ 的值；

(2)、若 $| φ | < \frac{π}{2}$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上的值域.

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23. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x + a x + \frac{1}{x + 1} (x > 0)$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (\frac{1}{4})$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由；

(3)、设 $f (x_{0}) = 0$ ，求证： $\frac{1}{2} < f (\sqrt{x_{0}}) < \frac{a + 1}{2}$ .

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五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）

24. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件 $A =$ “第一次正面朝上”，事件 $B =$ “第二次正面朝上”，则（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A + B) = \frac{3}{4}$ C、事件A与事件B互斥 D、事件A与事件B相互独立

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25. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，则（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的最大值为3 B、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为3 C、 $| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为6 D、 $| \vec{a} + \vec{b} | - | \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为2

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26. 已知函数 $f (x) = s i n x ， g (x) = c o s x$ ，若 $θ$ 满足，对 $\forall x_{1} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，都 $\exists x_{2} \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ 使得 $2 f (x_{1}) = 2 g (x_{2} + θ) + 1$ 成立，则 $θ$ 的值可能为（）

A、 $π$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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27. 已知正实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $l o g_{3} a = l o g_{5} b$ ， $l o g_{3} b = l o g_{5} c$ ，其中 $a > 1$ ，则（）

A、 $l o g_{a} b = l o g_{3} 5$ B、 $a > b > c$ C、 $a c > b^{2}$ D、 $2^{a} + 2^{c} > 2^{b + 1}$

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六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）

28. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的高为 $2 \sqrt{2}$ ，体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ .

(1)、求正四棱锥 $P - A B C D$ 的表面积；

(2)、若点 $E$ 为线段 $P B$ 的中点，求直线AE与平面 $A B C D$ 所成角的正切值；

(3)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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29. 已知定义在R上的函数 $f (x) = - x^{2} + x | x - a |$ ，其中a为实数.

(1)、当 $a = 3$ 时，解不等式 $f (x) \geq - 2$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有且仅有两个零点，求a的取值范围；

(3)、对于 $a \in [4 ， + \infty)$ ，若存在实数 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ，求 $\frac{x_{1}^{2} + m x_{2}}{x_{1} x_{2}}$ 的取值范围.（结果用a表示）

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体重变化	体重减轻	体重不变	体重增加
人数	241	571	188