浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期数学期末试题

试卷更新日期：2023-07-07 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， B = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1}$

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2. 若 $z \cdot i = 2 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{13}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的 $\frac{1}{6000}$ 所对的圆心角的大小，.若角 $α = 1000$ 密位，则 $α =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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4. 已知平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，直线 $l ⊄ α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 杭州亚运会火炬如图 $(1)$ 所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图 $(2)$ 所示的几何体 $.$ 假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为 $h$ ，则 $h$ 关于时间 $t$ 的函数的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积 $3133$ 平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线 $B C$ ，测得 $∠ A B C$ 、 $∠ A D C$ 的度数分别为 $α$ 、 $β$ ，以及 $D$ 、 $B$ 两点间的距离 $d$ ，则塔高 $A C =$ （）

A、 $\frac{d s i n α s i n β}{s i n (β - α)}$ B、 $\frac{d s i n α s i n β}{c o s (β - α)}$ C、 $\frac{d t a n α t a n β}{t a n (β - α)}$ D、 $\frac{d s i n α c o s β}{s i n (β - α)}$

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7. 已知函数 $f (x) = e x + π ， g (x) = {(\frac{π}{e})}^{x}$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $\forall x \in (0 ， + ∞) ， f (x) > g (x)$ B、 $\exists x_{0} \in (\frac{e}{π} ， e π)$ ，当 $x = x_{0}$ 时， $f (x) = g (x)$ C、 $\forall x \in (\frac{e}{π} ， e π) ， f (x) < g (x)$ D、 $\exists x_{0} \in (e^{2 π} ， + ∞)$ ，当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) < g (x)$

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8. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}) ， f (- \frac{π}{8}) = 0 ， | f (\frac{3 π}{8}) | = 1$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{24})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- 1 ， 1)$ D、函数 $f (x)$ 是减函数

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10. 如图， $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心，则（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A F} = \vec{A O}$ B、 $\vec{A C} + \vec{A E} = 3 \vec{A D}$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O D}$ D、 $\vec{A D}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\vec{A B}$

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11. 如图，质点 $A$ 和 $B$ 在单位圆 $O$ 上逆时针作匀速圆周运动 $.$ 若 $A$ 和 $B$ 同时出发， $A$ 的角速度为 $1 r a d / s$ ，起点位置坐标为 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $B$ 的角速度为 $2 r a d / s$ ，起点位置坐标为 $(1 ， 0)$ ，则（）

A、在 $1 s$ 末，点 $B$ 的坐标为 $(s i n 2 ， c o s 2)$ B、在 $1 s$ 末，扇形 $A O B$ 的弧长为 $\frac{π}{3} - 1$ C、在 $\frac{7 π}{3} s$ 末，点 $A$ ， $B$ 在单位圆上第二次重合 D、 $△ A O B$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2}$

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12. 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥 $P O$ 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥 $P O$ 的底面直径为 $2 a$ ，则（）

A、设内切球的半径为 $r_{1}$ ，外接球的半径为 $r_{2}$ ，则 $r_{2} = 2 r_{1}$ B、设内切球的表面积 $S_{1}$ ，外接球的表面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} = 4 S_{2}$ C、设圆锥的体积为 $V_{1}$ ，内切球的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{9}{4}$ D、设 $S$ 、 $T$ 是圆锥底面圆上的两点，且 $S T = a$ ，则平面 $P S T$ 截内切球所得截面的面积为 $\frac{π a^{2}}{15}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = \frac{1}{2}$ ，则 $a =$ .

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14. 将曲线 $y = s i n x$ 上所有点向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位，得到函数 $y = - s i n x$ 的图象，则 $φ$ 的最小值为.

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15. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长都是2，则直线 $C B_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正切值为；直线 $C B_{1}$ 与直线 $A_{1} B$ 所成角的余弦值为.

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16. 对于函数 $y = f (x) (x \in I)$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“不动点”.若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“稳定点”.记函数 $y = f (x)$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别为 $A$ 和 $B$ ，即 $A = {x | f (x) = x} ， B = {x | f (f (x)) = x}$ .经研究发现：若函数 $f (x)$ 为增函数，则 $A = B$ .设函数 $f (x) = \sqrt{x - a} (a \in R)$ ，若存在 $b \in [0 ， 1]$ 使 $f (f (b)) = b$ 成立，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 在平面直角坐标系中，已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ ．

(1)、求 $s i n α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $s i n (α + β) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $c o s β$ 的值．

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18. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $P m g / L$ 与时间 $t h$ 间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ （其中 $P_{0} ， k$ 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.
参考数据： $l n 2 = 0.693 ， l n 3 = 1.099 ， l n 5 = 1.609$ .

(1)、求 $k$ 的值（精称到0.01）；

(2)、求污染物减少 $50 %$ 需要花的时间（精确到 $0.1 h$ ）？

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19. 我们把由平面内夹角成 $60 °$ 的两条数轴 $O x ， O y$ 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示， $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 分别为 $O x ， O y$ 正方向上的单位向量.若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把实数对 $(x ， y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 的“@未来坐标”，记 $\vec{O P} = {x ， y}$ .已知 ${x_{1} ， y_{1}} ， {x_{2} ， y_{2}}$ 分别为向是 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的@未来坐标.

(1)、证明： ${x_{1} ， y_{1}} + {x_{2} ， y_{2}} = {x_{1} + x_{2} ， y_{1} + y_{2}}$ ；

(2)、若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的“@未来坐标”分别为 ${1 ， 2}$ ， ${2 ， 1}$ ，求向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角的余弦值.

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20. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， A D \cdot s i n ∠ A D C = 2 C D \cdot s i n ∠ A B C$ .

(1)、求证： $B C = 2 C D$ .

(2)、若 $A B = 3 C D = 3$ ，且 $A D \cdot s i n ∠ A D B = A B \cdot s i n 60 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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21. 生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长 $A B$ ，宽 $B C$ ，高 $A A_{1}$ 分别为 $30 c m ， 20 c m ， 10 c m$ .

(1)、在方案(2)中，若 $L A_{1} = A_{1} E = I C_{1} = C_{1} H = F B = B G = 10 c m$ ，设平面 $L E F$ 与平面 $G H I$ 的交线为 $l$ ，求证： $l / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少 $c m$ ？

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} (x > 0) ， g (x) = x (x > 0)$ .

(1)、直接写出 $| f (x) - g (x) | < | g (x) - f (x) + 1 |$ 的解集；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = g (x_{3})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，求 $f (x_{1} + x_{2}) + g (x_{3})$ 的取值范围；

(3)、已知 $x$ 为正整数，求 $h (x) = (m + 1) x^{2} - 2 (m^{2} + 1) x (m \in N^{*})$ 的最小值（用 $m$ 表示）.

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