广东省汕头市2022-2023学年高一下学期数学普通高中教学质量监测试卷

试卷更新日期：2023-07-06 类型：期末考试

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一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $N = {x \in Z ∣ 1 \leq x \leq 10} ， M = {x ∣ x^{2} - x - 6 = 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${- 2}$ B、 ${3}$ C、 ${- 3 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 3}$

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2. 设复数 $z = \frac{3 + i^{3}}{1 + 2 i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（）

A、0.9 B、0.8 C、0.7 D、0.6

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4. 如图，点D、E分别AC、BC的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b} ， F$ 是DE的中点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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5. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）

A、 $f (x) = \frac{s i n 3 x}{4^{- x} - 4^{x}}$ B、 $f (x) = \frac{c o s 3 x}{4^{- x} - 4^{x}}$ C、 $f (x) = \frac{c o s 3 x}{| 4^{x} - 4^{- x} |}$ D、 $f (x) = \frac{s i n 3 x}{| 4^{x} - 4^{- x} |}$

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6. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 的非负半轴重合，将角 $α$ 的终边按逆时针旋转 $\frac{π}{6}$ 后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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7. 已知 $a ， b ， l$ 是直线， $α$ 是平面，若 $a / / α ， b \subset α$ ，则“ $l ⊥ a ， l ⊥ b$ ”是“ $l ⊥ α$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 设 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty) ， x_{1} \neq x_{2}$ ，满足： $\frac{x_{2} f (x_{2}) - x_{1} f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，且 $f (2) = 4$ ，则不等式 $f (x) - \frac{8}{x} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， \infty)$ B、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 4) \cup (0 ， 4)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分)

9. 在党中央、国务院决策部署下，近一年来我国经济运行呈现企稳回升态势．如图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比，就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正确的是（）

A、12个月的月度同比增速百分比的中位数为1% B、12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0 C、图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大 D、共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、将函数 $y = 2 c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 2 ， - \sqrt{3}]$

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11. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也叫做陀罗，间南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜(gá)”或“打老牛”。传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 $S$ 滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）

A、圆锥的母线长为9 B、圆锥的表面积为 $36 π$ C、圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为 $6 0^{°}$ D、圆锥的体积为 $12 \sqrt{2} π$

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12. 已知实数 $a ， b$ ，满足 $a > b > 0 ， l n a l n b = 1$ ，则（）

A、 $a b > e^{2}$ B、 $l o g_{a} 2 < l o g_{b} 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a b + 1} < {(\frac{1}{2})}^{a + b}$ D、 $a^{a} b^{b} > a^{b} b^{a}$

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三、填空题(每小题5分,共20分)

13. 若 $A = {x ∣ x^{2} + x - a > 0}$ ，且 $1 \notin A$ ，则 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 2) ， \vec{b} = (- 6 ， 2)$ ，则下列说法正确的是.
① $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$

② $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 20$

③向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上投影向量的模长是 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

④与向量 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$

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15. 半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱雉，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若该二十四等边体的体积为 $\frac{20}{3}$ ，则原正方体的外接球的表面积为.

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16. 已知 $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $s i n θ + c o s θ + s i n θ c o s θ$ 的取值范围是.

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四、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 已知某公司计划生产一批产品总共 $t$ 万件 $(0.5 < t < 1.5)$ ，其成本为 $6 (1 + \frac{1}{t^{2}})$ (万元/万件)，其广告宣传总费用为4t万元，若将其销售价格定为 $(4 + \frac{80}{t})$ 万元/万件.

(1)、将该批产品的利润 $y$ (万元)表示为 $t$ 的函数；

(2)、当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?

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18. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c ，$ 已知 $a b c o s A - \sqrt{3} c + a^{2} c o s B = 0$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、点 $D$ 在线段BC上， $∠ B A C = 12 0^{°} ， ∠ B A D = 4 5^{°} ， C D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有 $m$ 人，按年龄分成5组，其中第一组： $[20 ， 25)$ ，第二组： $[25 ， 30)$ ，第三组： $[30 ， 35)$ ，第四组： $[35 ， 40)$ ，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $m$ 人的平均年龄和第80百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和 $\frac{5}{2}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这 $m$ 人中 $35 - 45$ 岁所有人的年龄的方差

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C ， A D ⊥ D C ， B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2 ， E$ 为棱AD的中点， $P A ⊥$ 平面ABCD.

(1)、证明：AB//平面PCE

(2)、求证：平面PAB⊥PBD

(3)、若二面角P-CD-A的大小为 $4 5^{°}$ ，求直线AD与平面PBD所成角的正切值.

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21. 已知函数 $f (x)$ = $s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(- \frac{π}{4} ， 0)$

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x \in R ， f (x + \frac{π}{4}) = f (\frac{π}{4} - x)$ ，是否存在实数 $ω$ ，使得 $f (x)$ 在 $(\frac{7 π}{18} ， \frac{5 π}{9})$ 上单调?若存在，求出 $ω$ 的取值集合；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a ， b \in R) ， g (x) = 2 x^{2} - 4 x - 16$ ，且 $| f (x) | \leq | g (x) |$ 对 $x \in R$ 恒成立.

(1)、求 $a 、 b$ 的值；

(2)、若对 $x > 2$ ，不等式 $f (x) \geq (m + 2) x - m - 15$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

(3)、记 $h (x) = - \frac{1}{2} f (x) - 4$ ，那么当 $k \geq \frac{1}{2}$ 时，是否存在区间 $[m ， n] (m < n)$ ，使得函数 $h (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上的值域恰好为 $[k m ， k n]$ ?若存在，请求出区间 $[m ， n]$ ；若不存在，请说明理由.

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