广东省广州市花都区重点中学2022-2023学年高二下册期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-07-06 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 从 $A$ 地到 $B$ 地要经过 $C$ 地，已知从 $A$ 地到 $C$ 地有三条路，从 $C$ 地到 $B$ 地有四条路，则从 $A$ 地到 $B$ 地不同的走法种数是（）

A、 $7$ B、 $9$ C、 $12$ D、 $16$

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2. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，设函数 $y = f (x)$ 从 $- 1$ 到 $1$ 的平均变化率为 $v_{1}$ ，从 $1$ 到 $2$ 的平均变化率为 $v_{2}$ ，则 $v_{1}$ 与 $v_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $v_{1} > v_{2}$ B、 $v_{1} = v_{2}$ C、 $v_{1} < v_{2}$ D、不确定

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3. 若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，则前 $5$ 项和为（）

A、 $7$ B、 $10$ C、 $19$ D、 $22$

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4. 设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，若 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f' (1) \cdot x^{2} + x$ ，则 $f' (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 甲、乙、丙、丁、戊、己 $6$ 人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙 $2$ 人相邻，则不同的排队方法共有（）

A、 $24$ 种 B、 $48$ 种 C、 $72$ 种 D、 $96$ 种

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6. 用 $5$ 种不同颜色给图中的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有种不同的涂色方案．（）

A、 $180$ B、 $360$ C、 $64$ D、 $25$

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7. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 上一点 $P$ 到点 $F$ 的距离为 $3$ ，则点 $P$ 到原点的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其导函数为 $f' (x)$ ，且不等式 $f' (x) > f (x)$ 恒成立，则下列不等式成立的是（）

A、 $e f (1) > f (2)$ B、 $e f (- 1) < f (0)$ C、 $e f (- 2) > f (- 1)$ D、 $e^{2} f (- 1) > f (1)$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 定义在 $R$ 上的可导函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）

A、 $- 3$ 是 $f (x)$ 的一个极小值点 B、 $- 2$ 和 $- 1$ 都是 $f (x)$ 的极大值点 C、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $(- 3 ， + \infty)$ D、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \infty ， - 3)$

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10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（）

A、若任意选择三门课程，则选法种数为 $35$ B、若物理和化学至少选一门，则选法种数为 $30$ C、若物理和历史不能同时选，则选法种数为 $30$ D、若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为 $20$

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11. 在 $(2 x - \frac{1}{x})^{8}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、常数项是 $1120$ B、第四项和第六项的系数相等 C、各项的二项式系数之和为 $256$ D、各项的系数之和为 $256$

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12. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[6 ， + \infty)$ B、直线 $3 x + y + 6 = 0$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线 C、 $f (x - 1)$ 图象的对称中心为 $(1 ， 2)$ D、方程 $f^{2} (x) - 5 f (x) - 14 = 0$ 有三个实数根

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 曲线 $y = \frac{1}{x} + l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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14. 900的正因数有个.（用数字作答）

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15. 写出与直线 $x = 1$ ， $y = 1$ ，和圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 都相切的一个圆的方程．

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16. $(x - 2 y + 1)^{5}$ 展开式中含 $x^{2} y$ 项的系数为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在 $(2 x + \frac{1}{x^{2}})^{6}$ 的展开式中，求：

(1)、第4项的二项式系数；

(2)、常数项．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $5 a_{2}$ 成等差数列， $S_{4} + 5 = 5 a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot l o g_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $C C_{1} = \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求点 $C$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离；

(2)、求二面角 $C_{1} - C D - B_{1}$ 的正弦值．

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20. 某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为 $x$ 万元，可获得的加工费为 $\frac{1}{2} l n (2 x + 1) - m x$ 万元，其中 $m \in (0 ， 1)$ ．

(1)、若 $m = \frac{1}{201}$ ，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额 $x$ 的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额 $x ($ 单位：万元 $)$ 应在什么范围内？

(2)、若该企业加工产品订单的金额为 $x$ 万元时共需要的生产成本为 $\frac{1}{20} x$ 万元，已知该企业加工生产能力为 $x \in [20 ， 30] ($ 其中 $x$ 为产品订单的金额 $)$ ，试问 $m$ 在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有唯一的实数根，直接写出实数 $k$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $y = x - 1$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的值．

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