广东省深圳重点学校高一2022-2023学年下册期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-07-06 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-2 B、 $2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 复数 $z = \frac{(1 + \sqrt{3} i)^{3}}{(2 + 2 i)^{2}} + \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $i$ D、 $- 2$

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $c o s < \vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b} > =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 从正方体的 $8$ 个顶点上任取 $4$ 个顶点，则这 $4$ 个顶点构成的几何图形不可能是（）

A、三个面是直角三角形的正三棱锥 B、有一个面是钝角三角形的四面体 C、每个面都是等边三角形的四面体 D、每个面都是直角三角形的四面体

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $c o s 2 A + c o s 2 B - c o s 2 C = 1 - 2 s i n A s i n B$ ，则一定成立的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $A = \frac{π}{4}$ C、 $A = C$ D、 $C = \frac{π}{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $a = x ， b = \sqrt{3} ， B = 60 °$ ，若三角形有两解，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $2 < x < 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} < x < 2$ C、 $\sqrt{3} < x < 2$ D、 $2 < x < 2 \sqrt{3}$

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7. 过 $△ A B C$ 的重心 $G$ 的直线 $l$ 分别交线段 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} ， \vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，则 $2 λ + μ$ 的最小值为（）

A、 $1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2 + 2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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8. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c o s A = \frac{b - c}{2 c}$ ，则 $\frac{2 c}{c + b}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ 的充要条件是 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的充要条件是 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$

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10. 已知复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $z \in R$ 的充要条件是 $z = \bar{z}$ B、 $z$ 是纯虚数的充要条件是 $z + \bar{z} = 0$ C、若 $z^{2} = | z |^{2}$ ，则 $z \in R$ D、若 $z^{2} + | z |^{2} = 0$ ，则 $z$ 是纯虚数

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11. 在正四面体 $A B C D$ 中，若 $A B = 2$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、正四面体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ B、正四面体外接球的表面积为 $6 π$ C、如果点 $P$ 在线段 $D M$ 上，则 $(A P + C P)^{2}$ 的最小值为 $4 + \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、正四面体 $A B C D$ 内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面 $B C D$ 上，上底圆面与面 $A B D$ 、面 $A B C$ 、面 $A C D$ 均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = \sqrt{2} ， C = \frac{π}{4}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆圆心，下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值是 $2 + \sqrt{2}$ B、 $b$ 的取值范围是 $(0 ， 2)$ C、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \sqrt{2} \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} + \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值是 $3$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $| 3 \vec{a} + 5 \vec{b} | = 7$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为．

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14. 在复数范围内方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的两根为 $α$ ， $β$ ，则 $| α | + | β | =$ ．

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15. 若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $B G ⊥ C G$ ，则 $c o s A$ 的最小值为．

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16. 水平桌面上放置了 $3$ 个半径为 $2$ 的小球，它们两两相切，并均与桌面相切 $.$ 若用一个半球形容器 $($ 容器厚度忽略不计 $)$ 罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知 $\vec{a} = (3 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、若 $m \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $t \in [- 1 ， 1]$ 时，求 $| \vec{a} - t \vec{b} |$ 的取值范围．

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18. 已知半圆圆心为 $O$ 点，直径 $A B = 8$ ， $C$ 为半圆弧上靠近点 $A$ 的三等分点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，以 $O$ 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．

(1)、若 $\vec{P A} = \frac{3}{4} \vec{C A} - \frac{1}{4} \vec{C B}$ ，求 $\vec{P A}$ 与 $\vec{C B}$ 夹角的大小；

(2)、试求点 $P$ 的坐标，使 $\vec{P A} \cdot \vec{P O}$ 取得最小值，并求此最小值．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $3 s i n^{2} B - 2 c o s B - 2 = 0$ ，且点 $D$ 在线段 $B C$ 上．

(1)、若 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、若 $B D = 2 D C$ ， $\frac{s i n ∠ B A D}{s i n ∠ C A D} = 4 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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20. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的侧棱长为 $\sqrt{6}$ 和底面边长为 $2$ ．

(1)、求正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积和表面积；

(2)、若点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在侧棱 $P B$ ， $P A$ ， $P C$ 上，且 $P E = \frac{3}{4} P B ， P F = \frac{1}{2} P A ， P G = \frac{2}{3} P C$ ，求三棱锥 $A - E F G$ 的体积．

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21. 正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为 $7 c m$ ， $31 c m$ ，高为 $32 c m$ ，如图水平放置，盛有水深为 $12 c m$ ．

(1)、求玻璃容器的体积；

(2)、将一根长度为 $40 c m$ 的搅棒 $l$ 置入玻璃容器中， $l$ 的一端置于点 $E$ 处，另一端置于侧棱 $G G_{1}$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度． $($ 容器厚度，搅棒粗细均忽略不计 $)$

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22. 如图 $1$ ，某景区是一个以 $C$ 为圆心，半径为 $\sqrt{3} k m$ 的圆形区域，道路 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 成 $60 °$ 角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道 $A B$ ，点 $A$ ， $B$ 分别在 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上，修建的木栈道 $A B$ 与道路 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 围成三角地块 $O A B . ($ 注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等 $)$ ．

(1)、若 $△ O A B$ 的面积 $S = 10 \sqrt{3} k m^{2}$ ，求木栈道 $A B$ 长；

(2)、如图 $2$ ，若景区中心 $C$ 与木栈道 $A$ 段连线的 $∠ C A B = α$ ，求木栈道 $A B$ 的最小值．

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