浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高一下册期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-07-06 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知复数 $z = i^{2} + (k + 1) i + k$ 是纯虚数，则实数 $k =$ （）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $1$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = 2 D C$ ，若 $\vec{B A} = \bar{a}$ ， $\vec{B C} = \bar{b}$ ，则 $\vec{B D} =$ （）

A、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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3. 已知空间中点 $A$ ， $B$ ，直线 $l$ ，平面 $α$ ，若 $A \in l$ ， $B \in l$ ， $A \notin α$ ， $B \in α$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $l / / α$ B、 $l$ 与 $ɑ$ 相交 C、 $l \subset α$ D、以上都有可能

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = 60 °$ ， $B = 45 °$ ， $a = 3$ ，则 $b =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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5. 如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为 $6$ ，底面是对角线长分别是 $9$ 和 $13$ 的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（）

A、 $30 \sqrt{10}$ B、 $40 \sqrt{10}$ C、 $50 \sqrt{10}$ D、 $60 \sqrt{10}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $M$ 为边 $B C$ 上的任意一点，点 $N$ 在线段 $A M$ 上，且满足 $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N M}$ ，若 $\vec{A N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $1$ D、 $4$

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7. 如图，在圆 $C$ 中， $A C = 5$ ，点 $A$ ， $B$ 在圆上， $A B = 4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、 $25$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $16$

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8. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P A = P B = 6$ ，平面 $α$ 过 $P B$ ， $B C$ ， $P D$ 的中点，则下列关于平面 $α$ 截四棱锥 $P - A B C D$ 所得的截面正确的为（）

A、所得截面是正五边形 B、截面过棱 $P A$ 的三等分点 C、所得截面面积为 $\frac{45 \sqrt{6}}{4}$ D、截面不经过 $C D$ 中点

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知复数 $z_{1} = i$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，下列结论正确的有（）

A、 $\bar{z_{1} z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ B、若 $| z - z_{2} | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $z_{1} \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 10$ ， $A = 45 °$ ，则使此三角形有两解的 $a$ 的值可以是（）

A、5 B、 $6 \sqrt{2}$ C、8 D、 $10 \sqrt{2}$

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11. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其外接圆半径为 $R$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $c = 1$ ， $C = 45 °$ ，则 $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 可能是直角三角形 C、若 $A = 3 B$ ，则 $a = 3 b$ D、若 $s i n 2 A + s i n 2 B = s i n 2 C$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形

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12. 如图，圆锥底面的直径为 $3$ ， $S_{底}$ ： $S_{侧} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、圆锥的体积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{8} π$ B、圆锥内切球的半径为 $\frac{3}{2} (2 - \sqrt{3})$ C、过 $P$ 截圆锥所得截面面积最大为 $\frac{3}{2}$ D、 $A$ 点沿圆锥表面到 $E$ 的最短路经长为 $\sqrt{\frac{15}{4} - 3 c o s \frac{\sqrt{3} π}{2}}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} + \vec{c} | =$ ．

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14. 已知复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $| z - 2 - \sqrt{5} i |$ 的取值范围为．

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15. 已知圆柱体的底面半径为 $\frac{3}{2} c m$ ，高为 $5 π c m$ ，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体 $4$ 圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $B = 60 °$ ， $B A = 2$ ， $C D = 3 B C$ ，对任意 $u \in R$ ，有 $| \vec{C A} - (μ - 1) \vec{B C} | \geq | \vec{A C} |$ 恒成立，点 $P$ 是直线 $B A$ 上，则 $C P + D P$ 的最小值是．

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四、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已如 $i$ 为虚数单位，复数 $z = m (m - 1) + (m^{2} + 2 m - 3) i$ ．

(1)、当实数 $m$ 取何值时， $z$ 是纯虚数；

(2)、若 $m = 2$ ，求 $| \frac{z}{1 + i} |$ 的值．

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18. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n^{2} C = s i n A s i n B$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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19. 台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切 $($ 内壁厚度忽略不计 $)$ ，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋 $.$ 已知该模具底部边长为 $3 c m$ ．

⑴求内壁的面积；

⑵求制作该模具所需材料的体积；

⑶求模具顶点到内壁的最短距离．

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20. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\frac{2 s i n A + \sqrt{2}}{2 c o s A - \sqrt{2}} = \frac{1 - c o s 2 C}{c o s (\frac{π}{2} + 2 C)}$ ．

(1)、判断角 $B$ 与角 $C$ 的关系，并说明理由；

(2)、若 $B \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ ，求 $\frac{c}{b}$ 的范围．

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21. 如图，梯形 $A B C D$ ， $A B = 2 D C = 4$ ， $∠ A D C = \frac{2}{3} π$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 是 $A D$ 上的任意一点，设 $\vec{A F} = λ \vec{A D}$ ．

(1)、当 $F$ 是 $A D$ 的三等分点时，试用向量 $\vec{A D}$ ， $\vec{D C}$ 表示向量 $\vec{F E}$ ；

(2)、若 $| \vec{A D} | = t (t > 0)$ ，求证： $| \vec{F E} |$ 的最小值与 $t$ 无关．

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