吉林省长春吉大附高2023年高三第五次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2023-07-06 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $a ， b \in R ， a + 3 i = (b + i) i$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $a = 1 ， b = - 3$ B、 $a = - 1 ， b = 3$ C、 $a = - 1 ， b = - 3$ D、 $a = 1 ， b = 3$

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2. 集合 $A ， B$ 满足 $A \cup B = {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10}$ ， $A ∩ B = {2 ， 8}$ ， $A = {2 ， 6 ， 8}$ 则集合 $B$ 中的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面 $A B C D$ 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）．

A、 $A B = B C + E F$ B、 $A B = \frac{B C}{2} + E F$ C、 $A B = B C + \frac{E F}{2}$ D、 $A B = 2 B C - E F$

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4. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n} = 2^{n} + 2^{n - 1} \times 3 + 2^{n - 2} \times 3^{2} + 2^{n - 3} \times 3^{3} + ⋯ + 2^{2} \times 3^{n - 2} + 2 \times 3^{n - 1} + 3^{n}$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、 $3^{2023} - 2^{2023}$ B、 $3 \times 2^{2023} - 3^{2024}$ C、 $3^{2024} - 2^{2024}$ D、 $2 \times 3^{2023} - 2^{2024}$

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5. 已知 $m ， n$ 为异面直线， $m ⊥$ 平面 $α$ ， $n ⊥$ 平面 $β$ ，若直线 $l$ 满足 $l ⊥$ $m ， l ⊥ n$ ，且 $l ⊄ α ， l ⊄ β$ .则下列说法正确的是（）

A、 $α / / β ， l / / α$ B、 $α ⊥ β ， l ⊥ β$ C、 $α$ 与 $β$ 相交，且交线平行于 $l$ D、 $α$ 与 $β$ 相交，且交线垂直于 $l$

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6. 已知 $a > 0$ ，若点 $P$ 为曲线 $C_{1}$ ： $y = \frac{x^{2}}{2} + a x$ 与曲线 $C_{2}$ ： $y = 2 a^{2} l n x + m$ 的交点，且两条曲线在点 $P$ 处的切线重合，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、 $e^{- \frac{1}{2}}$ B、 $e^{\frac{1}{2}}$ C、 $\frac{e}{2}$ D、 $2 e$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 所在平面内，分别以 $A B ， B C$ 为边向外作正方形 $A B E F$ 和正方形 $B C H G$ ．记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，面积为 $S$ ，已知 $S = \frac{3}{4}$ ，且 $a s i n A + c s i n C = 4 a s i n C s i n B$ ，则 $F H =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{5}{2} \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

8. 已知 ${(\sqrt[4]{\frac{1}{x}} + \sqrt[3]{x^{2}})}^{n}$ 展开式中的第三项的系数为45，则（）

A、 $n = 9$ B、展开式中所有系数和为 $1024$ C、二项式系数最大的项为中间项 D、含 $x^{3}$ 的项是第7项

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9. 2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比

y

如表所示.已知

\bar{y} = 40 %

，于是分别用p＝

30 %

和p＝

40 %

得到了两条回归直线方程：

y = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}

，

y = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}

，对应的相关系数分别为

r_{1}

、

r_{2}

，百分比y对应的方差分别为

s_{1}^{2}

、

s_{2}^{2}

，则下列结论正确的是（）（附：

\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}

，

\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}

）

年份	$2018$	$2019$	$2020$	$2021$	$2022$
年份代码x	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$20 %$	p	$40 %$	$50 %$	q

A、

r_{1} > r_{2}

B、

s_{1}^{2} > s_{2}^{2}

C、

{\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{2}

D、

{\hat{a}}_{1} > {\hat{a}}_{2}

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10. 设 $A (- 2 ， 0)$ ，圆 $B ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ （ $B$ 为圆心）， $P$ 为圆 $B$ 上任意一点，线段 $A P$ 的中点为 $Q$ ，过点 $Q$ 作线段 $A P$ 的垂线与直线 $B P$ 相交于点 $R$ ．当点 $P$ 在圆 $B$ 上运动时，点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ ，点 $R$ 的轨迹为曲线 $C_{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、曲线 $C_{1}$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ B、当点 $Q$ 在圆 $B$ 上时，点 $Q$ 的横坐标为 $\frac{1}{4}$ C、曲线 $C_{2}$ 的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 无公共点

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11. 若正实数 $a ， b$ 满足 $a > b$ ，且 $l n a \cdot l n b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $l o g_{a} b > 0$ B、 $a - \frac{1}{b} > b - \frac{1}{a}$ C、 $2^{a b + 1} < 2^{a + b}$ D、 $a^{b - 1} < b^{a - 1}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

12. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \in (- \infty ， a) \\ x^{2} ， x \in [a ， + \infty) \end{array}$ ，若 $f (2) = 4$ ，则a的取值范围为.

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13. 已知圆 $C ： (x - a)^{2} + (y - 2)^{2} = 4 (a > 0)$ 及直线 $l ： x - y + 3 = 0$ ，当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ 时， $a$ 的值等于.

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14. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $16$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， $E$ 是棱 $B C$ 的中点， $P$ 是侧棱 $A A_{1}$ 上的动点，直线 $C_{1} P$ 交平面 $E B_{1} D_{1}$ 于点 $P^{'}$ ，则动点 $P^{'}$ 的轨迹长度为．

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15. 将数列 ${a_{n}}$ 中的项排成下表：
$a_{1}$

$a_{2}$ ， $a_{3}$

$a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $a_{6}$ ， $a_{7}$

$a_{8}$ ， $a_{9}$ ， $a_{10}$ ， $a_{11}$ ， $a_{12}$ ， $a_{13}$ ， $a_{14}$ ， $a_{15}$

…

已知各行的第一个数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ ， …构成数列 ${b_{n}}$ ， $b_{2} = 3$ 且 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 2$ （ $n \in N *$ 且 $n \geq 2$ ），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若 $a_{130} = 19$ ，则第6行的所有项的和为.

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四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (2 x)$ ，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上单调递增，求实数 $m$ 的最大值．

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17. 数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 ${\begin{array}{l} a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} \\ \frac{1}{b_{n + 1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b_{n}} \end{array}$ ， $a_{1} > 0$ ， $b_{1} > 0$ ．

(1)、求证： ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 是常数列；

(2)、设 $a_{1} = 4$ ， $b_{1} = 1$ ，求 $a_{n}$ 的最大项．

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18. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得 $- 1$ 分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，甲扑到乙踢出球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙扑到甲踢出球的概率 $\frac{1}{3}$ ，且各次踢球互不影响．

(1)、经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；

(2)、求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．

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19. 如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A C ⊥ B B_{1}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 6 ， B C = 4$ ， $B B_{1} = 2$ ， $A C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 相交于点 $D$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，且 $D E$ ∥平面 $B C C_{1} B_{1}$ ．

(1)、求三棱锥 $C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = x$ 与圆 $M$ ： $(x - 4)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于 $A ， B ， C ， D$ 四个点．

(1)、当 $r = 2$ 时，求四边形 $A B C D$ 面积；

(2)、当四边形 $A B C D$ 的面积最大时，求圆 $M$ 的半径 $r$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{2} - a e^{x} + x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，直线 $y = k x + b$ 过点 $(x_{1} ， f (x_{1})) ， (x_{2} ， f (x_{2}))$ .
（i）证明： $k > f^{'} (l n \frac{a}{2})$ ；

（ii）证明： $b < \frac{1}{2} - a$ .

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