广东省深圳市宝安区重点学校2022-2023学年高二下册期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-07-06 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 某物体的运动路程 $s ($ 单位： $m)$ 与时间 $t ($ 单位： $s)$ 的关系可用函数 $s (t) = t^{2} + 3$ 表示，则该物体在 $t = 2 s$ 时的瞬时速度为（）

A、 $0 m / s$ B、 $2 m / s$ C、 $3 m / s$ D、 $4 m / s$

查看试题解析
3. 某商场的展示台上有 $6$ 件不同的商品，摆放时要求 $A$ ， $B$ 两件商品必须在一起，则摆放的种数为（）

A、 $A_{2}^{2} A_{5}^{5}$ B、 $A_{2}^{2} A_{4}^{4}$ C、 $A_{5}^{5}$ D、 $A_{2}^{2} A_{6}^{5}$

查看试题解析
4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 9$ ，公比 $q = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{3}$ 与 $a_{5}$ 的等比中项是（）

A、1 B、3 C、 $\pm 1$ D、 $\pm 3$

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \frac{x - 2}{e^{x}}$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2)$

查看试题解析
6. $(1 + 3 x) (1 - x)^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、0 B、20 C、10 D、30

查看试题解析
7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 10$ ，在 ${a_{n}}$ 中每相邻两项之间都插入 $4$ 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ${b_{n}}$ ，则 $b_{2023} =$ （）

A、4043 B、4044 C、4045 D、4046

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - 3 l n x$ ，若 $f (x) > x^{3} - a x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 3 e)$ B、 $(3 e ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{3}{e})$ D、 $(\frac{3}{e} ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 现有男女学生共 $8$ 人，从男生中选取 $2$ 人，从女生中选取 $1$ 人，共有 $30$ 种不同的选法，其中男生有（）

A、 $3$ 人 B、 $4$ 人 C、 $5$ 人 D、 $6$ 人

查看试题解析
10. 在曲线 $y = s i n 2 x$ 上的切线的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 点的横坐标可能为（）

A、 $- \frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{12}$

查看试题解析
11. 设 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，将 $y = f (x)$ 和 $y = f' (x)$ 的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
12. 如图， $P_{1}$ 是一块半径为 $1$ 的半圆形纸板，在 $P_{1}$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_{2}$ ，然后依次剪去一个更小半圆 $($ 其直径为前一个剪掉半圆的半径 $)$ 得图形 $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ ， $\dots$ ，记纸板 $P_{n}$ 的周长为 $L_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $L_{2} = \frac{3}{2} π + 1$ B、 $S_{4} = \frac{23}{64} π$ C、 $L_{n} - L_{n - 1} = \frac{π - 2}{2^{n - 1}}$ D、 $S_{n} = \frac{π}{9} (4 + \frac{1}{2^{2 n - 1}})$

查看试题解析

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 二项式 $(x^{2} + \frac{1}{2 x})^{6}$ 的展开式中常数项为．

查看试题解析
14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{5} + a_{3}^{2} = 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式可能是 $a_{n} =$ $. ($ 写出满足条件的一个通项公式即可 $)$

查看试题解析
15. 现有编号为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 的 $6$ 个不同的小球，若将这些小球排成一排，要求 $A$ 球不在最边上，且 $B$ ， $C$ ， $D$ 各不相邻，则有种不同的排法． $($ 用数字作答 $)$

查看试题解析
16. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导数 $f' (x)$ ，对于 $\forall x \in R$ ，有 $f (- x) + f (x) = x^{2}$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上，恒有 $f' (x) - x < 0 .$ 若有 $f (2 - e^{t}) - f (e^{t}) \geq 2 - 2 e^{t}$ ，则实数 $t$ 的取值范围为．

查看试题解析

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + a$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $S_{m} = 127$ ，求 $m$ ．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} - 8 x + 4 a$ ， $a \in R$ ， $f' (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且 $f' (- 1) = 0$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、如果函数 $g (x) = f (x) - 2 x^{3} + t l n x$ 在定义域内单调递减，求实数 $t$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $(n - 1) a_{n} = (n + 1) a_{n - 1} (n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 $.$ 某幢建筑物要建造可使用 $32$ 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 $8$ 万元 $.$ 该建筑物每年的能源消耗费用 $C ($ 单位：万元 $)$ 与隔热层厚度 $x ($ 单位； $c m)$ 满足关系： $C (x) = \frac{16}{x + 2} (1 \leq x \leq 10)$ ，设 $f (x)$ 为隔热层建造费用与 $32$ 年的能源消耗费用之和．

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、隔热层修建多厚时，总费用 $f (x)$ 达到最小，并求最小值．

查看试题解析
21. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} + a_{6} = - 12$ ， $a_{3} \cdot a_{5} = 32$ ，且 $S_{n}$ 有最小值．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) + \frac{4}{x + 2} - 2$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 有且只有一个零点；

(2)、设 $g (x) = f (x - 1) + \frac{2 x - 2 - a}{x + 1}$ ， $a \in R$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $g (x)$ 的两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围，并证明 $g (x_{1}) + g (x_{2}) = 2 g (1)$ ．

查看试题解析