浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高二下册5月月考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-06 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算 $\frac{A_{7}^{3}}{C_{6}^{4}}$ 的结果是（）

A、 $28$ B、 $14$ C、 $\frac{14}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} = 2 ， a_{2} = 2$ ，则 $S_{3} =$ （）

A、 $8$ B、 $7$ C、 $6$ D、 $4$

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3. 随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = n) = \frac{a}{n (n + 2)} (n = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，其中 $a$ 是常数，则 $P (\frac{1}{2} < X < \frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{55}{68}$ B、 $\frac{55}{136}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x .$ 如果过点 $(1 ， b)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，求实数 $b$ 的取值范围（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 0)$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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5. 数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = 2$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 ${b_{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为（）

A、 $\frac{4}{3} (4^{n - 1} - 1)$ B、 $\frac{4}{3} (4^{n} - 1)$ C、 $\frac{1}{3} (4^{n - 1} - 1)$ D、 $\frac{1}{3} (4^{n} - 1)$

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6. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数 $.$ 用 $x$ 表示红色骰子的点数，用 $y$ 表示绿色骰子的点数，用 $(x ， y)$ 表示一次试验的结果 $.$ 定义事件： $A =$ “ $x + y = 7$ ”，事件 $B =$ “ $x y$ 为奇数”，事件 $C =$ “ $x > 3$ ”，则下列结论正确的个数是（）
$① A$ 与 $B$ 互斥 $② A$ 与 $B$ 对立 $③ P (B | C) = \frac{1}{3}$ $④ A$ 与 $C$ 相互独立

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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7. 已知函数 $f (x) = - (x + 1) l n x + x - 1$ 则（）

A、 $(x - 1) f' (x) \geq 0$ B、 $(x - 1) f (x) \geq 0$ C、 $(x - 1) f' (x) < 0$ D、 $(x - 1) f (x) \leq 0$

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8. 从甲袋内摸出 $1$ 个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙袋内摸出 $1$ 个红球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，从两袋内各摸出 $1$ 个球，则 $\frac{2}{3}$ 等于（）

A、 $2$ 个球不都是红球的概率 B、 $2$ 个球都是红球的概率 C、至少有 $1$ 个红球的概率 D、 $2$ 个球中恰好有 $1$ 个红球的概率

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 对变量 $y$ 和 $x$ 的一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n} ， y_{n})$ 进行回归分析，建立回归模型，则正确的有（）

A、残差平方和越大，模型的拟合效果越好 B、若由样本数据得到经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则其必过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、用决定系数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越好 D、若 $y$ 和 $x$ 的样本相关系数 $r = - 0.95$ ，则 $y$ 和 $x$ 之间具有很强的负线性相关关系

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10. 已知 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{2 n + 1}$ 的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为 $1 ： 8$ ，则（）

A、 $n = 4$ B、展开式中所有项的系数和为 $1$ C、展开式中二项式系数和为 $2^{4}$ D、展开式中不含常数项

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11. 设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 定义域交集为 $I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得对任意 $x \in I$ 都有 $(f (x) - g (x)) (x - x_{0}) \geq 0$ ，则称 $(f (x) ， g (x))$ 构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相关函数对”的有（）

A、 $f (x) = e^{x} (x \in R) ， g (x) = x + 1 (x \in R)$ B、 $f (x) = l n x (x > 0) ， g (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ C、 $f (x) = \sqrt{x} (x \geq 0) ， g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} (x \in R)$ D、 $f (x) = x (x \in R) ， g (x) = x^{2} (x \in R)$

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12. 甲罐中有 $5$ 个红球， $2$ 个白球和 $3$ 个黑球，乙罐中有 $4$ 个红球， $3$ 个白球和 $3$ 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以 $B$ 表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B | A_{1}) = \frac{5}{11}$ B、 $P (B) = \frac{2}{5}$ C、事件 $B$ 与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 两两互斥

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知随机变量 $X \sim B (2 ， p)$ ，若 $P (X \geq 1) = \frac{7}{16}$ ，则 $p =$ ．

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14. 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高 $($ 单位： $c m)$ 服从正态分布 $N (100 ， 1 0^{2})$ ，若测量 $10000$ 株水稻，株高在 $(80 ， 90)$ 的约有 $. ($ 若 $x \sim N (μ ， σ^{2})$ ， $P (μ - σ \leq X \leq μ - σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ - 2 σ) \approx 0.9545)$

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15. 若 ${(1 - 2 x)}^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} x^{2023} (x \in R)$ ，则 $\sum_{k = 1} \frac{a_{k}}{2^{k}}$ 的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a^{x} l o g_{a} e - 2 x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有一个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数 $f (x) = a e^{x} (a \in R)$ ， $g (x) = x^{2}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线过 $(3 ， 3)$ ，求函数 $y = x f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，曲线 $f (x)$ 与曲线 $g (x)$ 存在唯一的公切线，求实数 $a$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} + 2 n = 3 a_{n} (n \in N^{*}) .$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n} + n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 某大学有

A

，

B

两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近

100

天选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况 $($ 午餐，晚餐 $)$	$(A ， A)$	$(A ， B)$	$(B ， A)$	$(B ， B)$
甲	$30$ 天	$20$ 天	$40$ 天	$10$ 天
乙	$20$ 天	$25$ 天	$15$ 天	$40$ 天

(1)、假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率

.

计算某天甲同学午餐去

A

餐厅用餐的情况下晚餐去

B

餐厅用餐的概率；

(2)、某天午餐，甲和乙两名同学准备去

A

，

B

这两个餐厅中某一个就餐

.

设事件

M =

“甲选择

A

餐厅就餐”，事件

N =

“乙选择

A

餐厅就餐”，

P (M) > 0

，

P (N) > 0 .

若

P (\bar{M} | N) = P (\bar{M} | \bar{N})

，

证明：事件 $M$ 和 $N$ 相互独立．

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20. 过点 $P (1 ， 0)$ 作曲线 $C ： y = x^{k} (x \in (0 ， + \infty) ， k \in N^{*} ， k > 1)$ 的切线，切点为 $Q_{1}$ ，设 $Q_{1}$ 在 $x$ 轴上的投影是点 $P_{1}$ ；又过点 $P_{1}$ 作曲线 $C$ 的切线，切点为 $Q_{2}$ ，设 $Q_{2}$ 在 $x$ 轴上的投影是点 $P_{2} ， ⋯$ ，依此下去，得到一系列点 $Q_{1} ， Q_{2} ， ⋯ ， Q_{n} ⋯$ ，设点 $Q_{n}$ 的横坐标是 $a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $a_{n} \geq 1 + \frac{n}{k - 1}$ ．

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21. 某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第 $4$ 件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第 $4$ 件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格 $.$ 且每件产品质检费用为 $80$ 元 $.$ 设这批产品的数量足够大，并认为每次检查中查到不合格品的概率都为 $p$ ，即每次抽查的产品是相互独立的．

(1)、求这批产品能够通过检查的概率 $；$

(2)、记对这批产品的质检个数记作 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $；$

(3)、已知100批此类产品，若 $p \in [0.05 ， 0.1]$ ，则总平均检查费用至少需要多少元？(总平均检查费用 $=$ 每批次平均检查费用 $\times$ 批数)

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22. 已知函数 $f (x) = x + a l n x + \frac{1}{e^{x}} - x^{a}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，试判断函数 $f (x)$ 的零点的个数；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的最小值．

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