浙教版数学八年级上册2.2-2.3等腰三角形的性质同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-07-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $P$ 在线段 $B C$ 上以 $3 c m / s$ 的速度由 $B$ 点向 $C$ 点运动，同时，点 $Q$ 在线段 $C A$ 上以相同速度由点 $C$ 向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当 $△ B D P$ 与 $△ C P Q$ 全等时，点 $P$ 运动的时间是（）

A、 $t = 1 s$ B、 $t = \frac{5}{3} s$ C、 $t = \frac{4}{3} s$ D、 $t = \frac{5}{3} s$ 或 $t = \frac{4}{3} s$

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2. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ，点D是底边 $B C$ 的中点，以A、C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线 $E F$ 上有一个动点P，则线段 $P C + P D$ 的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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3. 已知等腰三角形纸片

A B C

，

A B = A C

，

∠ B A C = 36 °

．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案：

方案Ⅰ

方案Ⅱ

如图1，①分别作 $A B$ ， $A C$ 的垂直平分线，交于点P；

②选择 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．

如图2，①以点B为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交 $A C$ 于点D，交 $A B$ 于点E；

②连接 $D E$ ， $B D$ ．

对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）．

A、Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B、Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C、Ⅰ、Ⅱ都可行 D、Ⅰ、Ⅱ都不可行

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4. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点B′恰好落在CD上，若 $∠ B A D = α$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $α - 45 °$ C、 $\frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - \frac{1}{2} α$

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5. 有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC ，过点D作DE∥AB交BC于点E ，若点F在AB上，且满足DF=DE ，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F ，连接DF ，则DE=DF ，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB ．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）

A、小军说的对，且∠DFB的另一个值是40° B、小军说的不对，∠DFB只有140°一个值 C、小贤求的结果不对，∠DFB应该是20° D、两人都不对，∠DFB应有3个不同值

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6. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）

A、7.5 B、8.5 C、10.5 D、13.5

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7. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③AG⊥EF；④∠EBC＝∠C．其中正确结论有（）

A、①③ B、①② C、①②③ D、①②③④

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8. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（）

A、45°﹣α B、 $\frac{90 ° - α}{2}$ C、90°﹣2α D、 $\frac{α}{2}$

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9. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 $A B$ ，在网格中再找一个格点C，使得 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠APO-∠OBD=30° ；②△BPO是正三角形；③AB-AP=AO；④ $S_{四边形 A O B P} = 2 S_{△ B C D}$ ，其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，等腰三角形 $ABC$ 的底边 $BC$ 长为 $4$ ，面积是 $16$ ，腰 $AC$ 的垂直平分线 $EF$ 分别交 $AC$ ， $AB$ 边于点 $E$ ， $F$ ，若点 $D$ 为 $BC$ 边的中点，点 $M$ 为线段 $EF$ 上一动点，则 $△ CDM$ 周长的最小值为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $A B = A C = 4$ ， $∠ B D C = 140 °$ ， $B D = C D$ ，以点 $D$ 为顶点作 $∠ M D N = 70 °$ ，两边分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，连接 $M N$ ，则 $△ A M N$ 的周长为．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则 $∠ B =$ ．

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14. 小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 50 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① $∠ O E F = 50 °$ ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：

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15. 如图， $∠ A O B = 70 °$ ，点C是边 $O B$ 上的一个定点，点P在角的另一边 $O A$ 上运动，当 $△ C O P$ 是等腰三角形， $∠ O C P =$ °.

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三、解答题

16. 根据以下素材，探索完成任务.

三角形背景下角的关系探索
素材1	如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2	研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3	当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1	补全图形	请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2	特例猜想	有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3	一般结论	请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4	拓展延伸	除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.