湖南省常德市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-04 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $3$ 的相反数是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 下面算法正确的是（）

A、 $(- 5) + 9 = - (9 - 5)$ B、 $7 - (- 10) = 7 - 10$ C、 $(- 5) + 0 = - 5$ D、 $(- 8) + (- 4) = 8 + 4$

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 < 2 \\ 3 x + 1 \geq 2 x \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x < 5$ B、 $1 \leq x < 5$ C、 $- 1 \leq x < 5$ D、 $x \leq - 1$

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4. 我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 若 $a^{2} + 3 a - 4 = 0$ ，则 $2 a^{2} + 6 a - 3 =$ （）

A、5 B、1 C、 $- 1$ D、0

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6. 下列命题正确的是（）

A、正方形的对角线相等且互相平分 B、对角互补的四边形是平行四边形 C、矩形的对角线互相垂直 D、一组邻边相等的四边形是菱形

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7. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，E，F分别为 $A O$ ， $D O$ 上的一点，且 $E F ∥ A D$ ，连接 $A F ， D E$ ．若 $∠ F A C = 15 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $90 °$ C、 $105 °$ D、 $115 °$

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8. 观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数 $\frac{20}{2023}$ 若排在第a行b列，则 $a - b$ 的值为（）
      $\frac{1}{1}$
      $\frac{1}{2}$      $\frac{2}{1}$
      $\frac{1}{3}$      $\frac{2}{2}$      $\frac{3}{1}$
      $\frac{1}{4}$      $\frac{2}{3}$      $\frac{3}{2}$     $\frac{4}{1}$
……

A、2003 B、2004 C、2022 D、2023

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二、填空题

9. 计算：（a²b）³= ．

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10. 分解因式： $a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} =$ ．

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11. 要使二次根式 $\sqrt{x - 4}$ 有意义，则x应满足的条件是．

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12. 联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为．

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13. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是.

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14. 我市体育中考有必考和选考项目，掷实心球是必考项目之一，在一次训练中，张华同学掷实心球10次的成绩依次是（单位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，73．则张华同学撰实心球成绩的众数是．

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15. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， D是 $A B$ 上一点，且 $A D = 2$ ，过点D作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于E，将 $△ A D E$ 绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中 $\frac{B D}{C E}$ 的值为．

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16. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图． $\overset{⌢}{A B}$ 是以O为圆心， $O A$ 为半径的圆弧，C是弦 $A B$ 的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ． “会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 长l的近似值s计算公式： $s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}$ ，当 $O A = 2$ ， $∠ A O B = 90 °$ 时， $| l - s | =$ ．（结果保留一位小数）

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三、解答题

17. 计算： $1 - {(\frac{1}{2})}^{- 1} \cdot s i n 60 ° + | 2^{0} - \sqrt{3} |$

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18. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - 2 y = 1 ① \\ 3 x + 4 y = 23 ② \end{array}$

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19. 先化简，再求值： $\frac{x + 3}{x^{2} - 4} \div (2 - \frac{x + 1}{x + 2})$ ，其中 $x = 5$ ．

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20. 如图所示，一次函数 $y_{1} = - x + m$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 相交于点A和点 $B (3 ， - 1)$ ．

(1)、求m的值和反比例函数解析式；

(2)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，求x的取值范围．

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21. 党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：

请根据图中信息回答下列问题：

(1)、该种粮大户2022年早稻产量是吨；

(2)、2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是，平均数是；

(3)、该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？

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22. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．

(1)、求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？

(2)、若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？

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23. 今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，座板 $C D$ 与地面 $M N$ 平行， $△ E B C$ 是等腰三角形且 $B C = C E$ ， $∠ F B A = 114.2 °$ ，靠背 $F C = 57 c m$ ，支架 $A N = 43 c m$ ，扶手的一部分 $B E = 16.4 c m$ ．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 $F$ 点距地面（ $M N$ ）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据： $s i n 65.8 ° = 0.91$ ， $c o s 65.8 ° = 0.41$ ， $t a n 65.8 ° = 2.23$ ）

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $A B$ 是直径， $C$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $C E ， D E$ 的长．

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25. 如图，二次函数的图象与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点， $t a n ∠ A C O = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、求四边形 $A C D B$ 的面积；

(3)、P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 $∠ A C O = ∠ P B C$ ，求P点的坐标．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 的中点，延长 $D A$ 至E，连接 $E B ， E C$ ．

(1)、求证： $△ B A E ≌ △ C A E$ ；

(2)、在如图1中，若 $A E = A D$ ，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作 $D F ⊥ A B$ 于F，设H是 $E C$ 的中点，过点H作 $H G ∥ A B$ 交 $F D$ 于G，交 $D E$ 于M．
求证：① $A F \cdot M H = A M \cdot A E$ ；
② $G F = G D$ ．

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