吉林省2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-04 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 月球表面的白天平均温度零上 $126 ° C$ ，记作 $+ 126 ° C$ ，夜间平均温度零下 $150 ° C$ ，应记作（）

A、 $+ 150 ° C$ B、 $- 150 ° C$ C、 $+ 276 ° C$ D、 $- 276 ° C$

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2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列算式中，结果等于 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{2} + a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3}$ C、 $(a^{2})^{3}$ D、 $a^{10} \div a^{2}$

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 根的判别式的值是（）

A、33 B、23 C、17 D、 $\sqrt{17}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $A B$ 上，过点D作 $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E．若 $A D = 2 ， B D = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 如图， $A B$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O B$ ， $O C$ 是 $⊙ O$ 的半径，点 $P$ 为 $O B$ 上任意一点（点 $P$ 不与点 $B$ 重合），连接 $C P$ ．若 $∠ B A C = 70 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数可能是（）

A、 $70 °$ B、 $105 °$ C、 $125 °$ D、 $155 °$

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二、填空题

7. 计算： $| - \sqrt{5} | = \sqrt{5}$

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8. 不等式 $4 x - 8 > 0$ 的解集为．

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9. 计算： $a (b + 3) =$ ．

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10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以点B和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线 $A D$ 交 $B C$ 于点E．若 $∠ B A C = 110 °$ ，则 $∠ B A E$ 的大小为度．

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12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为．

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13. 如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为 $15 m$ ，点A，B是圆上的两点，圆心角 $∠ A O B = 120 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为 $m$ ．（结果保留 $π$ ）

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， B C < A C$ ．点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，连接 $D E$ ，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ．若点 $B^{'}$ 刚好落在边 $A C$ 上， $∠ C B^{'} E = 30 ° ， C E = 3$ ，则 $B C$ 的长为．

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三、解答题

15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例先化简，再求值： $\frac{M}{a + 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$ ，其中 $a = 100$ ．
解：原式 $= \frac{a^{2}}{a (a + 1)} - \frac{1}{a (a + 1)}$
……

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16. 2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．

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17. 如图，点C在线段 $B D$ 上，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A = ∠ D ， A B = D E ， ∠ B = ∠ E$ ．
求证： $A C = D C$ ．

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18. 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．

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19. 图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以 $A B$ 为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

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20. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长 $λ$ （单位：m）会随着电磁波的频率f（单位： $M H z$ ）的变化而变化．已知波长 $λ$ 与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：

频率f（ $M H z$ ）

10

15

50

波长 $λ$ （m）

30

20

6

(1)、求波长 $λ$ 关于频率f的函数解析式．

(2)、当 $f = 75 M H z$ 时，求此电磁波的波长 $λ$ ．

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21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案

小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具

自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．

如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角 $α$ ．

测出眼睛到地面的距离 $A B$ ．

测出所站地方到古树底部的距离 $B D$ ．

$α =$ ．

$A B = 1.54 m$ ．

$B D = 10 m$ ．

【步骤四】计算古树高度 $C D$ ．（结果精确到 $0.1 m$ ）

（参考数据： $s i n 40 ° = 0.643 ， c o s 40 ° = 0.766 ， t a n 40 ° = 0.839$ ）

请结合图①、图④和相关数据写出 $α$ 的度数并完成【步骤四】．

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22. 为了解 $2018 - 2022$ 年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：


2 $018 - 2022$ 年吉林省粮食总产量及其增长速度

（以上数据源于《 $2022$ 年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）

注： $增长速度 = \frac{本年粮食总产量 - 去年粮食总产量}{去年粮食总产量} \times 100 %$ ．

根据此统计图，回答下列问题：

(1)、 $2021$ 年全省粮食总产量比 $2019$ 年全省粮食总产量多万吨．

(2)、 $2018 - 2022$ 年全省粮食总产量的中位数是万吨．

(3)、王翔同学根据增长速度计算方法得出 $2017$ 年吉林省粮食总产量约为 $4154.0$ 万吨．
结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”

① $2018 - 2022$ 年全省粮食总产量增长速度最快的年份为 $2019$ 年，因此这 $5$ 年中， $2019$ 年全省粮食总产量最高．（    ）

②如果将 $2018 - 2022$ 年全省粮食总产量的中位数记为 $a$ 万吨， $2017 - 2022$ 年全省粮食总产量的中位数记为 $b$ 万吨，那么 $a < b$ ．（    ）

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23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 $y (m)$ 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

(1)、甲组比乙组多挖掘了天．

(2)、求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

(3)、当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．

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24.

(1)、【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形 $E F M N$ ．转动其中一张纸条，发现四边形 $E F M N$ 总是平行四边形其中判定的依据是．

(2)、【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条 $A B C D$ 和 $E F G H$ （ $A B < B C$ ， $F G \leq B C$ ），其中 $A B = E F$ ， $∠ B = ∠ F E H$ ，将它们按图②放置， $E F$ 落在边 $B C$ 上， $F G ， E H$ 与边 $A D$ 分别交于点M，N．求证： $▱ E F M N$ 是菱形．

(3)、【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条 $A B C D$ 不动，将平行四边形纸条 $E F G H$ 沿 $B C$ 或 $C B$ 平移，且 $E F$ 始终在边 $B C$ 上．当 $M D = M G$ 时，延长 $C D ， H G$ 交于点P，得到图③．若四边形 $E C P H$ 的周长为40， $s i n ∠ E F G = \frac{4}{5}$ （ $∠ E F G$ 为锐角），则四边形 $E C P H$ 的面积为．

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25. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，动点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A$ ， $B$ 同时出发，点 $P$ 以 $1 c m / s$ 的速度沿边 $A B$ 向终点 $B$ 匀速运动，点 $Q$ 以 $2 c m / s$ 的速度沿折线 $B C - C D$ 向终点 $D$ 匀速运动．连接 $P O$ 并延长交边 $C D$ 于点 $M$ ，连接 $Q O$ 并延长交折线 $D A - A B$ 于点 $N$ ，连接 $P Q$ ， $Q M$ ， $M N$ ， $N P$ ，得到四边形 $P Q M N$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $x$ （ $s$ ）（ $0 < x < 4$ ），四边形 $P Q M N$ 的面积为 $y$ （ $c m^{2}$ ）
　　

(1)、 $B P$ 的长为 $c m$ ， $C M$ 的长为 $c m$ ．（用含x的代数式表示）

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

(3)、当四边形 $P Q M N$ 是轴对称图形时，直接写出 $x$ 的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 经过点 $A (0 ， 1)$ ．点 $P$ ， $Q$ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $m ， 2 m (m > 0)$ ，连接 $A P$ ， $A Q$ ．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当点 $Q$ 与此抛物线的顶点重合时，求 $m$ 的值．

(3)、当 $∠ P A Q$ 的边与 $x$ 轴平行时，求点 $P$ 与点 $Q$ 的纵坐标的差．

(4)、设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{1}$ ，在点 $A$ 与点 $Q$ 之间部分（包括点 $A$ 和点 $Q$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{2}$ ．当 $h_{2} - h_{1} = m$ 时，直接写出 $m$ 的值．

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频率f（ $M H z$ ）	10	15	50
波长 $λ$ （m）	30	20	6