江苏省苏州市吴江区2022-2023学年七年级下册月考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-04 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算 $- m^{4} \cdot (- m)^{2}$ 的结果是（）

A、 $m^{6}$ B、 $- m^{8}$ C、 $m^{8}$ D、 $- m^{6}$

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2. 若 $a < b ，$ 则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a x < b x$ B、 $3 a < 2 b$ C、 $- a + 3 > - b + 3$ D、 $2 - a < 2 - b$

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3. 下列选项中，可以用来说明命题“若 $x^{2} > 9$ ，则 $x > 3$ ”是假命题的反例是（）

A、 $x = 3$ B、 $x = - 3$ C、 $x = 4$ D、 $x = - 4$

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4. 如图，已知 $A B = D E$ ， $A D = C F$ ，添加下列条件，能判定 $△ A B C$ ≌ $△ D E F$ 的是（）

A、 $A C = D F$ B、 $∠ A = ∠ F D E$ C、 $∠ A C B = ∠ D F E$ D、 $∠ B = ∠ E$

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5. 用如图 $①$ 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 $②$ 的竖式和横式的两种无盖纸盒 $.$ 现有 $60$ 张正方形纸板和 $140$ 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做 $x$ 个竖式无盖纸盒， $y$ 个横式无盖纸盒，则可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} x + 4 y = 60 \\ 2 x + 3 y = 140 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 60 \\ 4 x + 3 y = 140 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 60 \\ 2 x + 4 y = 140 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 60 \\ 4 x + 2 y = 140 \end{array}$

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6. 已知 $m - n = 1$ ，则 $m^{2} - n^{2} - 2 n$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、0 D、2

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7. 如图，已知 $∠ B A C = 32 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $A$ 落在 $∠ B A C$ 外部的点 $A$ 处，此时测得 $∠ 1 = 106 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $34 °$ B、 $37 °$ C、 $40 °$ D、 $42 °$

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8. 如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示放置，据此规律，第 $9$ 个图形有个五角星．（）

A、120 B、121 C、99 D、100

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 如图，点 $A$ ， $C$ ， $B$ ， $D$ 在同一条直线上， $B E / / D F$ ， $∠ A = ∠ F$ ， $A B = F D .$ 若 $∠ F C D = 30 °$ ， $∠ A = 80 °$ ，则 $∠ D B E$ 的度数为 $° .$

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10. 已知 $10$ 万粒芝麻的质量约 $400$ 克，则用科学记数法表示 $1$ 粒芝麻的质量为克．

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11. 若三角形两条边的长分别是3、7，第三条边的长是整数，则第三条边长的最大值是．

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12. 分解因式： $8 a - 2 a^{3} =$ ．

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13. 正六边形的一个内角是正 $n$ 边形一个外角的 $5$ 倍，则 $n$ 等于．

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14. 若 ${\begin{array}{l} x = a \\ y = b \end{array}$ 是方程 $3 x + y = 1$ 的一个解，则 $9 a + 3 b + 2023 =$ .

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 、 $C E$ 是中线，若四边形 $B D F E$ 的面积是 $8$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16. 在数学中，为了书写简便， $18$ 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ $\sum^{}$ ”，如 $\sum_{k = 1} k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + (n - 1) + n ， \sum_{k = 3} (x + k) = (x + 3) + (x + 4) + ⋯ + (x + n)$ ；
已知 $\sum_{k = 2} [(x + k + 2) (x - k - 1)] = 4 x^{2} + 4 x + m$ ，则 $m + n$ 的值是．

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三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、 $(- 1)^{2020} + (- 2)^{3} + (π - 1)^{0} + (- \frac{1}{4})^{- 2}$ ；

(2)、 $(x - y) (x + 2 y) - (- x + y)^{2}$ ．

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18. 把下列各式因式分解：

(1)、 $a^{2} (a - b) + 4 (b - a)$ ；

(2)、 $- 4 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x$ ．

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19. 计算题：

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{x - 3}{3} + 3 \geq x + 1 \\ 1 - 3 (x - 1) < 8 - x \end{array}$ 并在数轴上把解集表示出来．

(2)、解方程组： ${\begin{array}{l} y = 2 x - 1 \\ 3 x - 2 y = 0 \end{array}$ ．

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20. 如图， $△ A B C$ 的顶点都在方格纸的格点上，在方格纸内将 $△ A B C$ 经过一次平移后得到 $△ A' B' C'$ ，图中标出了点 $B$ 的对应点 $B'$ ．
⑴在给定方格纸中画出平移后的 $△ A' B' C'$ ；
⑵画出 $B C$ 边上的高 $A D$ ；
⑶过 $B$ 点画直线 $l$ ，将 $△ A B C$ 分成两个面积相等的三角形．

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21. 已知 $m - n = 4$ ， $m n = - 3$ ．

(1)、计算： $m^{2} + n^{2}$ ；

(2)、求 $(m^{2} - 4) (n^{2} - 4)$ 的值；

(3)、求 $8^{m} \cdot 3 2^{n} \div 4^{m + 2 n}$ 的值．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，点 $G$ 在边 $A B$ 上，点 $E$ 、 $F$ 在边 $A C$ 上， $∠ A G F = ∠ A B C = 70 °$ ， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．

(1)、试判断 $B F$ 与 $D E$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $D E ⊥ A C$ ， $∠ C D E = 30 °$ ，求 $∠ A$ 的度数．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C > A B$ ，射线 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在边 $A B$ 的延长线上， $A F = A C$ ，连接 $E F$ ．

(1)、求证： $△ A E C$ ≌ $△ A E F$ ．

(2)、若 $∠ A E B = 50 °$ ，求 $∠ B E F$ 的度数．

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24. 某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.

(1)、买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？

(2)、已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？

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25. 目：已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = - a + 3 ① \\ 2 x + y = 4 a ② \end{array}$ 求： $(1)$ 若 $3 x + 3 y = 18$ ，求 $a$ 值； $(2)$ 若 $- 5 x - y = 16$ ，求 $a$ 值．
问题解决：

(1)、王题解决的思路：观察方程组中 $x$ 、 $y$ 的系数发现，将 $① + ②$ 可得 $3 x + 3 y = 3 a + 3$ ，又因为 $3 x + 3 y = 18$ ，则 $a$ 值为；

(2)、王磊解决的思路：观察方程组中 $x$ 、 $y$ 的系数发现，若将方程组中的 $①$ 与 $②$ 直接进行加减已经不能解决问题，经过思考，王磊将 $① \times m$ ， $② \times n$ 得 ${\begin{array}{l} m x + 2 m y = - m a + 3 m ③ \\ 2 n x + n y = 4 n a ④ \end{array}$ ，再将 $③ + ④$ 得： $(m + 2 n) x + (2 m + n) y = (- m + 4 n) a + 3 m$ ，又因为 $- 5 x - y = 16$ ， $⋯ ⋯$ 请根据王磊的解题思路求出 $m$ 、 $n$ 及 $a$ 的值．
问题拓展：

(3)、已知关于 $x$ ， $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 y > - a + 3 ① \\ 2 x + y < 4 a ② \end{array}$ ，若 $x + 5 y = 2$ ，求 $a$ 的取值范围．

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26. 完全平方公式： $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
解：因为 $a + b = 3$ ，所以 $(a + b)^{2} = 9$ ，即： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$ ，又因为 $a b = 1$ ，所以 $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $x + y = 8$ ， $x^{2} + y^{2} = 40$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、填空：①若 $(4 - x) x = 5$ ，则 $(4 - x)^{2} + x^{2} =$ ；
②若 $(4 - x) (5 - x) = 8$ ，则 $(4 - x)^{2} + (5 - x)^{2} =$ ．

(3)、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 25$ ， $B C = 15$ ，点 $E . F$ 是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C$ 、 $C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C E M N$ ，若长方形 $C E P F$ 的面积为 $200$ 平方单位，求图中阴影部分的面积和．

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27. 如图，已知点 $E$ 在四边形 $A B C D$ 的边 $B C$ 的延长线上， $B M$ 、 $C N$ 分别是 $∠ A B C$ 、 $∠ D C E$ 的平分线，设 $∠ B A D = α$ ， $∠ A D C = β$ ．

(1)、如图 $①$ ，若 $α + β = 180 °$ ，判断 $B M$ 、 $C N$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、如图 $②$ ，若 $α + β > 180 °$ ， $B M$ 、 $C N$ 相交于点 $O$ ．
①当 $α = 50 °$ ， $β = 160 °$ 时， $∠ B O C =$ ▲ °；
②若 $∠ B O C$ 与 $α$ 、 $β$ 有怎样的数量关系？说明理由．

(3)、如图③，若 $α + β < 180 °$ ， $B M$ 、 $C N$ 的反向延长线相交于点 $O$ ，则 $∠ B O C =$ $. ($ 用含 $α$ 、 $β$ 的代数式表示 $)$

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