黑龙江省龙东地区2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-04 类型：中考真卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列运算正确的是（）

A、 $(- 2 a)^{2} = - 4 a^{2}$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 $(- m + 2) (- m - 2) = m^{2} - 4$ D、 ${(a^{5})}^{2} = a^{7}$

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2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 已知一组数据 $1 ， 0 ， - 3 ， 5 ， x ， 2 ， - 3$ 的平均数是1，则这组数据的众数是（）

A、-3 B、5 C、-3和5 D、1和3

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5. 如图，在长为 $100 m$ ，宽为 $50 m$ 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 $3600 m^{2}$ ，则小路的宽是（）

A、 $5 m$ B、 $70 m$ C、 $5 m$ 或 $70 m$ D、 $10 m$

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6. 已知关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 2} + 1 = \frac{x}{2 - x}$ 的解是非负数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 2$ B、 $m \geq 2$ C、 $m \leq 2$ 且 $m \neq - 2$ D、 $m < 2$ 且 $m \neq - 2$

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7. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）

A、5种 B、6种 C、7种 D、8种

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8. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B$ 过原点 $O$ ，底边 $B C ∥ x$ 轴，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过 $A ， B$ 两点，过点 $C$ 作 $C D ∥ y$ 轴交双曲线于点 $D$ ，若 $S_{△ B C D} = 12$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、 $- 12$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- 9$

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9. 如图，在平面直角坐标中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5 ， O A ： O D = 1 ： 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ D、 $(1 - \sqrt{5} ， 2)$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 上的动点，且 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 翻折，得到 $△ A M F ， A M$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，对角线 $B D$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，连接 $H M ， C M ， D M ， B M$ ，下列结论正确的是：① $A F = D E$ ；② $B M ∥ D E$ ；③若 $C M ⊥ F M$ ，则四边形 $B H M F$ 是菱形；④当点 $E$ 运动到 $A B$ 的中点， $t a n ∠ B H F = 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $E P \cdot D H = 2 A G \cdot B H$ ．（）

A、①②③④⑤ B、①②③⑤ C、①②③ D、①②⑤

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二、填空题（每小题3分，共30分）

11. 据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为．

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12. 函数 $y = \sqrt{x + 3}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，请添加一个条件，使矩形 $A B C D$ 是正方形（填一个即可）

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14. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是．

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15. 关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x + 5 > 0 \\ x - m \leq 1 \end{array}$ 有3个整数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 切 $⊙ O$ 于点A， $P O$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $B C$ ，若 $∠ B = 28 °$ ，则 $∠ P =$ $°$ ．

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17. 已知圆锥的母线长 $13 c m$ ，侧面积 $65 π c m^{2}$ ，则这个圆锥的高是 $c m$ ．

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18. 在 $R t △ A C B$ 中， $∠ B A C = 30 ° ， C B = 2$ ，点 $E$ 是斜边 $A B$ 的中点，把 $R t △ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，得 $R t △ A F D$ ，点 $C$ ，点 $B$ 旋转后的对应点分别是点 $D$ ，点 $F$ ，连接 $C F$ ， $E F ， C E$ ，在旋转的过程中， $△ C E F$ 面积的最大值是．

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19. 矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， A D = 9$ ，将矩形 $A B C D$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在点 $E$ 处，若 $△ A D E$ 是直角三角形，则点 $E$ 到直线 $B C$ 的距离是．

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A在直线 $l_{1} ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，顶点B在x轴上， $A B$ 垂直 $x$ 轴，且 $O B = 2 \sqrt{2}$ ，顶点 $C$ 在直线 $l_{2} ： y = \sqrt{3} x$ 上， $B C ⊥ l_{2}$ ；过点 $A$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{1}$ ，交x轴于 $B_{1}$ ，过点 $B_{1}$ 作 $A_{1} B_{1}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，连接 $A_{1} C_{1}$ ，得到第一个 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{2}$ ，交x轴于 $B_{2}$ ，过点 $B_{2}$ 作 $A_{2} B_{2}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{2}$ ，连接 $A_{2} C_{2}$ ，得到第二个 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；如此下去，……，则 $△ A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ 的面积是．

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三、解答题（满分60分）

21. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{m + 1}) \div \frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - m}$ ，其中 $m = t a n 60 ° - 1$ ．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (2 ， - 1) ， B (1 ， - 2)$ ， $C (3 ， - 3)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、将 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 着原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，求线段 $A_{2} C_{2}$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π$ ）．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、拋物线上是否存在一点 $P$ ，使得 $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)、这次学校抽查的学生人数是人；

(2)、将条形图补充完整；

(3)、扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是 $°$ ；

(4)、如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．

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25. 已知甲，乙两地相距 $480 k m$ ，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 $120 k m$ ，货车继续出发 $\frac{2}{3} h$ 后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离 $y (k m)$ 与货车行驶时间 $x (h)$ 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)、图中 $a$ 的值是；

(2)、求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 $y (k m)$ 与行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系式；

(3)、直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距 $12 k m$ ．

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26. 如图①， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 是等边三角形，连接 $D C$ ，点F，G，H分别是 $D E ， D C$ 和 $B C$ 的中点，连接 $F G ， F H$ ．易证： $F H = \sqrt{3} F G$ ．
若 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，如图②：若 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形，且 $∠ B A C = ∠ D A E = 120 °$ ，如图③：其他条件不变，判断 $F H$ 和 $F G$ 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

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27. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．

(1)、求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？

(2)、已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？

(3)、在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．

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28. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A O C B$ 的边 $O C$ 在x轴上， $∠ A O C = 60 °$ ， $O C$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 $O B$ 于点D，直线 $A D$ 分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿 $O D$ 向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿 $F E$ 向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、求直线 $A D$ 的解析式．

(2)、连接 $M N$ ，求 $△ M D N$ 的面积S与运动时间t的函数关系式．

(3)、点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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