江苏省扬州市梅岭教育集团2022-2023学年七年级下册第二次月考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-04 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（）

A、 $1 c m$ ， $2 c m$ ， $4 c m$ B、 $12 c m$ ， $13 c m$ ， $20 c m$ C、 $5 c m$ ， $5 c m$ ， $11 c m$ D、 $14 c m$ ， $16 c m$ ， $30 c m$

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2. 下列方程是二元一次方程的是（）

A、 $x + y + z = 1$ B、 $x^{2} = 4$ C、 $x - 3 = 5$ D、 $2 x + y = 8$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{3} \times a^{4} = a^{12}$ C、 $(a^{3})^{4} = a^{12}$ D、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$

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4. 若 $(x + 2) (x - n) = x^{2} + m x + 2$ ，则 $m - n$ 的值是（）

A、 $6$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $- 6$

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5. 若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的 $2$ 倍，则它的边数为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $8$

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6. 下列句子中，属于命题的是（）

A、直线 $A B$ 和 $C D$ 垂直吗？ B、过线段 $A B$ 的中点 $C$ 作 $A B$ 的垂线 C、同旁内角不互补，两直线不平行 D、已知 $a^{2} = 1$ ，求 $a$ 的值

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7. $《$ 九章算术 $》$ 是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中 $《$ 盈不足 $》$ 卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出 $8$ 钱，会多出 $3$ 钱；每人出 $7$ 钱，又差 $4$ 钱．问人数、物价各多少？”设人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 8 x + 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 8 x - 3 = y \\ 7 x + 4 = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 8 x + 3 = y \\ 7 x + 4 = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 8 x - 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{array}$

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8. 有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中 $3$ 个如图 $1$ 摆放，构造一个正方形；其中 $5$ 个如图 $2$ 摆放，构造一个新的长方形 $($ 各小长方形之间不重叠且不留空隙 $) .$ 若图 $1$ 和图 $2$ 中阴影部分的面积分别为 $39$ 和 $106$ ，则每个小长方形的面积为（）

A、 $12$ B、 $14$ C、 $16$ D、 $18$

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二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦” $.$ 每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰 $.$ 据测定，柳絮纤维的直径约为 $0.0000105 m$ ，该数值用科学记数法表示为．

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10. 命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．

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11. 已知x，y满足方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = - 2 \\ 2 x + y = 3 \end{array}$ ，则 $x - y$ 的值为．

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12. 如图，将 $△ A B E$ 向右平移 $2 c m$ 得到 $△ D C F$ ，如果 $△ A B E$ 的周长是 $16 c m$ ，那么四边形 $A B F D$ 的周长是 $c m$ ．

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13. 若 $y = 5 m + 20$ ， $x = m + 3$ ，用含 $x$ 的式子表示 $y$ ，则 $y =$ ．

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14. 已知 $x = 4$ 是不等式 $m x - 3 m + 2 \leq 0$ 的解，且 $x = 2$ 不是这个不等式的解，则实数 $m$ 的取值范围为，

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15. 如图，已知 $A E$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线，若 $A B = 8 c m$ ， $△ A C E$ 的周长比 $△ A E B$ 的周长多 $2 c m$ ，则 $A C =$ $c m$ ．

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16. 如图，小圆 $A$ 表示不等式 $2 x - 1 \geq 3$ 的解集，大圆 $B$ 表示关于 $x$ 的不等式 $m - x < 1$ 的解集，则字母 $m$ 的取值范围是．

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17. 如图， $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 边 $A B$ 、 $B C$ 上的点， $A D = 2 B D$ ， $B E = C E$ ，设 $△ A F C$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $B E F D$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $S_{△ B D C} = 12$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ 的值为．

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18. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 6 \\ y = 3 \end{array}$ ，则关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 4 a_{1} x - 3 b_{1} y = 2 a_{1} + c_{1} \\ 4 a_{2} x - 3 b_{2} y = 2 a_{2} + c_{2} \end{array}$ 的解为．

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三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 因式分解：

(1)、 $a (a - b) + 2 b (b - a)$ ；

(2)、 $2 a^{3} - 2 a$ ．

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20. 解不等式 $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1$ ，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．

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21. 解方程组或不等式组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x = 6 - y \\ x - 3 y = 2 \end{array}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} 4 (x + 1) \leq 7 x + 10 \\ x - 5 < \frac{x - 8}{3} \end{array}$ ．

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22. 已知 $a + b = 10$ ， $a b = - 8$ ．

(1)、求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

(2)、求 $5 a^{2} b + 5 a b^{2}$ 的值．

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23. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{cases} 2 x + y = m + 7 \\ x + 2 y = 8 - m \end{cases}$ （m是常数）．

(1)、若此方程组的解满足 $x \geq 0$ ， $y > 0$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，化简： $| m + 2 | + | m - 3 |$ ．

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24. 如图， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $F$ 在 $A B$ 上， $G$ 在 $A C$ 上， $F C$ 与 $B D$ 相交于点 $H$ ， $∠ 3 + ∠ 4 = 180 °$ ，试说明 $∠ 1 = ∠ 2 . ($ 请通过填空完善下列推理过程 $)$

解： $∵ ∠ 3 + ∠ 4 = 180 ° ($ 已知 $)$ ， $∠ F H D = ∠ 4$ （）.

      $∴ ∠ 3 +$       ▲       $= 180 ° ($ 等量代换 $)$ ．

      $∴ F G / / B D$ （）.

      $∴ ∠ 1 =$       ▲      （）.

      $∵ B D$ 平分 $∠ A B C$ ，

      $∴ ∠ A B D =$       ▲      （）.

      $∴ ∠ 1 = ∠ 2$ （）.

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25. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点都在正方形网格的格点上 $($ 网格中每个小正方形的边长都为 $1$ 个单位长度 $)$ ，将 $△ A B C$ ，平移，使点 $A$ 平移到 $A_{1}$ 的位置．

(1)、画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、连接 $A A_{1}$ 、 $B B_{1}$ ，则线段 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 的位置关系是；

(3)、求线段 $A C$ 在平移的过程中扫过的图形面积．

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26. 阅读下列材料：我们知道 $| x |$ 表示的是在数轴上数 $x$ 对应的点与原点的距离，即 $| x | = | x - 0 |$ ，也就是说， $| x |$ 表示在数轴上数 $x$ 与数 $0$ 对应点之间的距离 $.$ 这个结论可以推广为 $| x_{1} - x_{2} |$ 表示在数轴上数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 对应点之间的距离．
例如：解方程 $| x | = 6$ ．

解： $∵ | x | = | x - 0 | = 6$ ，

$∴$ 在数轴上与原点距离为 $6$ 的点对应的数为 $\pm 6$ ，即该方程的解为 $x = \pm 6$ ．

【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．

我们定义：形如“ $| x | \leq m$ ， $| x | \geq m$ ， $| x | < m$ ， $| x | > m$ ” $(m$ 为非负数 $)$ 的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．

由图 $1$ 可以得出：绝对值不等式 $| x | > 1$ 的解集是 $x < - 1$ 或 $x > 1$ ，

绝对值不等式 $| x | \leq 3$ 的解集是 $- 3 \leq x \leq 3$ ．

例如：解不等式 $| x - 1 | > 2$ ．

解：如图 $2$ ，首先在数轴上找出 $| x - 1 | = 2$ 的解，即到 $1$ 的距离为 $2$ 的点对应的数为 $- 1$ ， $3$ ，则 $| x - 1 | > 2$ 的解集为到 $1$ 的距离大于 $2$ 的点对应的所有数，所以原不等式的解集为 $x < - 1$ 或 $x > 3$ ．

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)、方程 $| x - 5 | = 3$ 的解为．

(2)、不等式 $| x | \geq 4$ 的解集是．

(3)、不等式 $2 | x + 2 | + 1 < 9$ 的解集是．

(4)、不等式 $| x + 1 | + | x - 3 | > 4$ 的解集是．

(5)、若 $| x - 3 | - | x + 4 | \leq a$ 对任意的 $x$ 都成立，则 $a$ 的取值范围是．

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27. 某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．

(1)、求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？

(2)、若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？

(3)、若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

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28. 如果三角形的两个内角 $α$ 与 $β$ 满足 $2 α + β = 90 °$ ，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

(1)、若 $△ A B C$ 是“准直角三角形”， $∠ C > 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B =$ $°$ ；

(2)、如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，
① $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线 $.$ 判断： $△ A B D$ $($ 填“是”或“不是” $)$ “准直角三角形”；

②点 $E$ 是边 $B C$ 上一点， $△ A B E$ 是“准直角三角形”，若 $∠ A B C = 24 °$ ，则 $∠ E A C$ 的度数是．

(3)、如图2， $B$ 、 $C$ 为直线 $l$ 上两点，点 $A$ 在直线 $l$ 外，且 $∠ A B C = 50 ° .$ 若 $P$ 是 $l$ 上一点，且 $△ A B P$ 是“准直角三角形”，请求出 $∠ A P B$ 的度数．

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