江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级下册第四次月考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-04 类型：月考试卷

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一、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

1. 如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若 $A O = 5$ ， $B O = 2$ ， $∠ A O D = 120 °$ ，则阴影部分面积为．

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2. 在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球 $2$ 个，红球 $3$ 个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是.

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3. 我国古代数学名著 $《$ 四元玉鉴 $》$ 中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱 $.$ 问梨果各几何？”意思是：用 $999$ 文钱买得梨和果共 $1000$ 个，梨 $11$ 文买 $9$ 个，果 $4$ 文买 $7$ 个，问梨果各买了多少个？如果设梨买 $x$ 个，果买 $y$ 个，那么可列方程组为．

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4. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 $A B C D$ 、四边形 $E F G D$ 和四边形 $E A I H$ 都是正方形 $.$ 如果图中 $△ E M H$ 与 $△ D M I$ 的面积比为 $\frac{16}{9}$ ，那么 $t a n ∠ G D C$ 的值为．

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5. 由直线 $y = k x + 2 k - 1$ 和直线 $y = (k + 1) x + 2 k + 1 (k$ 是正整数 $)$ 与 $x$ 轴及 $y$ 轴所围成的图形面积为 $S$ ，则 $S$ 的最小值是．

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二、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

6. 墨迹覆盖了等式“ $\cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 6 x + 9} - \frac{x - 4}{3 - x} = \frac{x + 1}{x - 3}$ ”中的一个代数式，求这个被墨迹覆盖的代数式．

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7. 用代数推理的方法证明下列两个结论：

(1)、设 $\bar{a b c d}$ 是一个四位数，若 $a + b + c + d$ 可以被 $3$ 整除，则这个数可以被 $3$ 整除．

(2)、已知函数 $y = x^{2} .$ 求证：当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．

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8. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长 $C$ 数值和面积 $S$ 数值相等，则称这个点为“等值点” $.$ 例如：点 $A (3 ， 6)$ ，因为 $C = (3 + 6) \times 2 = 18$ ， $S = 3 \times 6 = 18$ ，所以 $A$ 是“等值点”．

(1)、若点 $E$ 为双曲线 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 上任意一点，将点 $E$ 向右平移 $2$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位得到点 $F$ ，求证：点 $F$ 为“等值点”；

(2)、在第一象限内，若一次函数 $y = - x + b$ 的图象上有两个“等值点”，求 $b$ 的取值范围．

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9. 如图，光从空气斜射入水中，入射光线 $A B$ 射到水池的水面 $B$ 点后折射光线 $B D$ 射到池底点 $D$ 处，入射角 $∠ A B M = 30 °$ ，折射角 $∠ D B N = 22 °$ ；入射光线 $A C$ 射到水池的水面 $C$ 点后折射光线 $C E$ 射到池底点 $E$ 处，入射角 $∠ A C M' = 60 °$ ，折射角 $∠ E C N' = 40.5 ° . D E / / B C$ ， $M N$ 、 $M' N'$ 为法线 $.$ 入射光线 $A B$ 、 $A C$ 和折射光线 $B D$ 、 $C E$ 及法线 $M N$ 、 $M' N'$ 都在同一平面内，点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为 $6$ 米．

(1)、求 $B C$ 的长； $($ 结果保留根号 $)$

(2)、如果 $D E = 8.72$ 米，求水池的深 $. ($ 参考数据： $\sqrt{2}$ 取 $1.41$ ， $\sqrt{3}$ 取 $1.73$ ， $s i n 22 °$ 取 $0.37$ ， $c o s 22 °$ 取 $0.93$ ， $t a n 22 °$ 取 $0.4$ ， $s i n 40.5 °$ 取 $0.65$ ， $c o s 40.5 °$ 取 $0.76$ ， $t a n 40.5 °$ 取 $0.85)$

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10. 如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C E$ 是 $⊙ O$ 的弦， $E G$ 切 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交射线 $C B$ 的延长线于点 $G .$ 点 $A$ 在直线 $C E$ 上， $∠ A B G = 2 ∠ A C G$ ．

(1)、用尺规作出点 $A ($ 要求：不写作法，保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、连接 $A B$ ，直线 $A B$ 与 $G E$ 相交于点 $F$ ， $G F = 4 \sqrt{2}$ ， $G B = 6$ ．
①求 $⊙ O$ 的半径；
②连接 $C F$ ， $C F$ 平分 $∠ A C G$ 吗？为什么？

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11. 如图 $1$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a > 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ， $B ($ 点 $A$ 在点 $B$ 左侧 $)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且 $O B = O C = 3 O A$ ，点 $D$ 为抛物线上第四象限的动点．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、如图 $1$ ，直线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ，若 $△ A C P$ 和 $△ B D P$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，当 $S_{1} - S_{2}$ 的值最小时，求直线 $A D$ 的解析式．

(3)、如图 $2$ ，直线 $B D$ 交抛物线的对称轴于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $A D$ 的平行线交抛物线的对称轴于点 $M$ ，当点 $D$ 运动时，线段 $M N$ 的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．

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12. 如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是边 $B C$ 上的动点， $E$ 在 $△ A B P$ 的外接圆上，且位于正方形 $A B C D$ 的内部， $E A = E P$ ，连结 $A E$ ， $E P$ ．

(1)、求证： $△ P A E$ 是等腰直角三角形；

(2)、如图 $2$ ，连结 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，请探究线段 $D E$ 与 $P F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、当点 $P$ 是 $B C$ 的中点时， $D E = 4$ ．
①求 $B C$ 的长；
②若点 $Q$ 是 $△ A B P$ 外接圆上的动点，且位于正方形 $A B C D$ 的外部，连结 $A Q .$ 当 $∠ P A Q$ 与 $△ A D E$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $A Q$ 的长．

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