河南省信阳市息县2022-2023学年八年级下册期末考试数学试卷

试卷更新日期：2023-07-04 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{8}}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 若△ABC的三边a，b，c，满足 ${(a - b)}^{2} + | a^{2} + b^{2} - c^{2} | = 0$ ，则△ABC是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a - a = 1$ B、 $\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$ C、 $(a - 2)^{2} = a^{2} - 4$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$

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4. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形 $G$ 的边长是 $6 c m$ ，则正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 的面积之和是（）

A、 $18 c m^{2}$ B、 $36 c m^{2}$ C、 $72 c m^{2}$ D、 $108 c m^{2}$

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5. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $| a | + \sqrt{(a - b)^{2}}$ 的结果是（）

A、 $- 2 a + b$ B、 $2 a - b$ C、 $- b$ D、 $b$

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6. 如图．中俄“海上联合-2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口 $O$ 同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里 $/$ 小时的速度航行，二号舰以16海里 $/$ 小时速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达 $A$ ， $B$ 两点，相距 $10$ 海里，则二号舰航行的方向是（）

A、南偏东 $30 °$ B、北偏东 $30 °$ C、南偏东 $60 °$ D、南偏西 $60 °$

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7. 如果 $a b > 0$ ， $a + b < 0$ ，那么下面各式：① $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ， ② $\sqrt{\frac{a}{b}} \times \sqrt{\frac{b}{a}} = 1$ ， ③ $\sqrt{a b} \div \sqrt{\frac{a}{b}} = - b$ ，其中正确的是（）.

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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8. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A、 $3 {cm}^{2}$ B、 $4 {cm}^{2}$ C、 $6 {cm}^{2}$ D、 $12 {cm}^{2}$

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9. 把 $x \sqrt{- \frac{1}{x}}$ 根号外的因数移到根号内，结果是（）

A、 $\sqrt{x}$ B、 $\sqrt{- x}$ C、 $- \sqrt{- x}$ D、 $- \sqrt{x}$

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10. 下列结论中，错误的有（）
①在 $R t △ A B C$ 中，已知两边长分别为 $3$ 和 $4$ ，则第三边的长为 $5$ ；
② $△ A B C$ 的三边长分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ ，若 $B C^{2} + A C^{2} = A B^{2}$ ，则 $∠ A = 90 °$ ；
③在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A$ ： $∠ B$ ： $∠ C = 1$ ： $5$ ： $6$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为 $3$ ： $4$ ： $5$ ，则该三角形是直角三角形；

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 请写出一个比 $\sqrt{5}$ 小的正整数.

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12. 在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝.

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13. 命题“等边三角形的三边相等”的逆命题是，它是命题 $($ 填“真”或“假” $)$ ．

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14. 已知 $| 2022 - a | + \sqrt{a - 2023} = a$ ，则 $a - 202 2^{2} =$ ．

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15. 如图，长方体的底面边长分别为 $1 c m$ 和 $3 c m$ ，高为 $6 c m .$ 如果用一根细线从点 $A$ 开始经过 $4$ 个侧面缠绕一圈到达点 $B$ ，那么所用细线最短需要 $c m$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 计算：

(1)、 $(- \frac{1}{2})^{- 1} - \sqrt{12} + (1 - \sqrt{2})^{0} - | \sqrt{3} - 2 |$ ；

(2)、 $(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) - (\sqrt{3} - 1)^{2}$ ．

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17. 先化简，再求值： $(\frac{2}{a - 1} + 1) \cdot \frac{a^{2} + a}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中 $a = \sqrt{3} + 1$ .

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18. “引葭赴岸”是 $《$ 九章算术 $》$ 中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐 $.$ 问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为 $10$ 尺的正方形池塘，一棵芦苇 $A B$ 生长在它的中央，高出水面 $B C$ 为 $1$ 尺 $.$ 如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 $B$ 恰好碰到岸边的 $B' ($ 如图 $) .$ 问水深和芦苇长各多少？ $($ 画出几何图形并解答 $)$

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19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．

(1)、在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

(2)、在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{13}$ ；

(3)、如图3，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是小正方形的顶点，求 $∠ A B C$ 的度数．

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20. 若 $x, y$ 为实数,且 $y = \sqrt{1 - 4 x} + \sqrt{4 x - 1} + \frac{1}{2}$ ,求 $\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$ 的值.

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21. 在 $△ A B C$ 中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，设 $c$ 为最长边，当 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 时， $△ A B C$ 是直角三角形；当 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ 时，利用代数式 $a^{2} + b^{2}$ 和 $c^{2}$ 的大小关系，探究 $△ A B C$ 的形状 $($ 按角分类 $)$ ．

(1)、当 $△ A B C$ 三边分别为6、8、9时， $△ A B C$ 为三角形；当 $△ A B C$ 三边分别为6、8、11时， $△ A B C$ 为三角形．

(2)、猜想，当 $a^{2} + b^{2}$ $c^{2}$ 时， $△ A B C$ 为锐角三角形；当 $a^{2} + b^{2}$ $c^{2}$ 时， $△ A B C$ 为钝角三角形．

(3)、判断当 $a = 2$ ， $b = 4$ 时， $△ A B C$ 的形状，并求出对应的 $c$ 的取值范围．

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22.
超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据： $\sqrt{2}$ =1.41， $\sqrt{3}$ =1.73）

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23. 阅读材料：把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数 $m$ 、 $n$ ， $m^{2} + n^{2} = x$ 且 $m n = \sqrt{y}$ ，则把 $x \pm 2 \sqrt{y}$ 变成 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n = (m \pm n)^{2}$ 开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简．
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

解： $∵ 3 + 2 \sqrt{2} = 1 + 2 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + (\sqrt{2})^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$

$∴ \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ；

请你仿照上面的方法，化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$ ．

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