山东省济南市槐荫区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在平面直角坐标系中，将点B（-3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A（x，y）重合，则点A的坐标是（）

A、（2，5） B、（-8，5） C、（-8，-1） D、（2，-1）

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3. 下列分式是最简分式的是（）

A、 $\frac{2 a}{4 a^{2} b}$ B、 $\frac{a + b}{a^{2}}$ C、 $\frac{a}{a^{2} - a}$ D、 $\frac{a^{2} - a b}{a^{2} - b^{2}}$

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4. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 化简 $\frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$ 的结果是（）

A、 $x - 1$ B、 $\frac{1}{x - 1}$ C、 $\frac{1}{x + 1}$ D、 $x + 1$

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6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）

A、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ B、 $∠ D A B = ∠ D C B$ ， $∠ A B C = ∠ A D C$ C、 $A O = C O$ ， $B O = D O$ D、 $A B ∥ C D$ ， $A D = B C$

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7. 如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）

A、30° B、35° C、40° D、50°

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8. 如图，P是面积为S的 $▱ A B C D$ 内任意一点， $△ P A D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} + S_{2} > \frac{S}{2}$ B、 $S_{1} + S_{2} < \frac{S}{2}$ C、 $S_{1} + S_{2} = \frac{S}{2}$ D、 $S_{1} + S_{2}$ 的大小与P点位置有关

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A D = 2$ ，点E是对角线 $A C$ 上一动点，点F是边 $C D$ 上一动点，连接 $B E 、 E F$ ，则 $B E + E F$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (0 ， 2)$ ，点B在第一象限内， $∠ O A B = 120 °$ ， $A O = A B$ ，将 $△ A O B$ 绕点O逆时针旋转，每次旋转 $60 °$ ，则第2023次旋转后点B的坐标为（）

A、 $(2 \sqrt{3} ， 0)$ B、 $(\sqrt{3} ， 3)$ C、 $(- \sqrt{3} ， 3)$ D、 $(- 2 \sqrt{3} ， 0)$

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二、填空题

11. 因式分解: $x^{2} - 16 =$ .

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12. 一个多边形的内角和与外角和的和是720°，那么这个多边形的边数 $n =$ ．

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13. 代数式 $\frac{3}{x - 1}$ 与代数式 $\frac{2}{x - 3}$ 的值相等，则x＝．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为

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15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分 $∠ B A D$ 交BC于点E，且 $∠ A D C = 60^{o}$ ， $A B = \frac{1}{2} B C$ ，连接OE．下列结论：① $∠ C A D = 30^{o}$ ；②S_▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④ $O E = \frac{1}{4} B C$ ，成立的个数有个．

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16. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 12$ ，点P是 $B C$ 边上的点，连接 $A P$ ，以 $A P$ 为对称轴作 $△ A B P$ 的轴对称图形 $△ A Q P$ ，连接 $C Q 、 Q D$ ，当点P是线段 $B C$ 的中点，且 $C Q = 4$ 时，则 $A P$ 的长为．

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三、解答题

17. 因式分解： $x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}$

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18. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 2$ ．

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E、F分别为 $A B 、 C D$ 上的点，连接 $A F 、 E C$ ，且 $A F ∥ E C$ ．求证： $B E = D F$ ．

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20. 如图，四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M、N分别是AB、CD的中点，求证∠PMN＝∠PNM．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，0），B（-4，1），C（-2，2）．

(1)、直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：　；

(2)、平移△ABC，使平移后点A的对应点A₁的坐标为（2，1），请画出平移后的△A₁B₁C₁；

(3)、画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂ ．

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22. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

(1)、请用文字语言叙述三角形的中位线定理：三角形的中位线于第三边，且；

(2)、证明：三角形中位线定理．
已知：如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．
求证： ▲ ， ▲ ．
证明：

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23. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶的外型、型号、颜色等实行统一要求，其中，可回收垃圾用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：

(1)、此次调查一共随机采访了名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为度；

(2)、若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数，并补全条形统计图；

(3)、李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．

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24. 某单位在疫情期间购进A、B两种口罩，已知一包A种口罩的单价比一包B种口罩的单价多1元，且花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．

(1)、求A，B两种口罩一包的单价各是多少元？

(2)、若计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，求A种口罩最多能购进多少包？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $O A B C$ 的边 $O A = 8$ ， $O C = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ A O C = 45 °$ ．点P、Q分别是边 $B C$ 、 $O C$ 上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．

(1)、求出点B、C的坐标；

(2)、当 $t = 2$ 时，求 $△ A P Q$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 把两个等腰直角 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 按如图 $1$ 所示的位置摆放， $∠ A = 90 °$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，如图 $2$ ，连接 $B D$ ， $E C$ ，设旋转角为 $α (0 ° < α < 360 °)$ ．

(1)、求证： $△ B A D ≌ △ C A E$ ．

(2)、如图3，若点 $D$ 在线段 $B E$ 上，且 $B C = 13$ ， $D E = 7$ ，求 $C E$ 的长．

(3)、当旋转角 $α =$ 时， $△ A B D$ 的面积最大．

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