山西省临汾市霍州市2022-2023学年八年级下学期4月数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 9的算术平方根是（）

A、3 B、 $\pm 3$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt[3]{9}$

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2. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(2 ， - 3)$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{3} + x = x^{4}$ B、 ${(\frac{1}{2} x^{2} y)}^{3} = \frac{1}{2} x^{6} y^{3}$ C、 $3 x^{3} y^{2} \div 3 x^{2} = x y^{2}$ D、 ${(x - y)}^{2} ＝ x^{2} - y^{2}$

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4. 下列各式从左往右变形正确的是（）

A、 $\frac{a}{b + 2} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{a - 3}{b - 3}$ D、 $\frac{a}{b} = \frac{\frac{1}{3} a}{\frac{1}{3} b}$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，其对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列理论一定成立的是（）

A、 $A C = B D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A B = C D$ D、 $A B = A D$

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6. 某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示.若信息技术小组有40人，则学科拓展小组有（）

A、25人 B、40人 C、50人 D、60人

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7. 若点A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂）、C（x₃ ， y₃）都在反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象上，并且x₁＜0＜x₂＜x₃ ，则下列各式中正确的是（　　）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₂＜y₃＜y₁ C、y₁＜y₃＜y₂ D、y₃＜y₁＜y₂

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8. 若 $(a^{2} + b^{2} + 1) (a^{2} + b^{2} - 1) = 35$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ （　　）

A、3 B、6 C、 $\pm 3$ D、 $\pm 6$

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9. 正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = x - k$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E F$ 过点 $O$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A D = 5$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $1.5$ B、3 C、6 D、4

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{3} - 4 a$ ＝.

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12. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维，的直径约为 $0.0000108 m$ ．数据 $0.0000108$ 用科学记数法表示为．

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13. 函数 $y = x - 5$ 与 $y = k x + b$ 的图象如图所示，两图象交点的横坐标为4，则二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x - y - 5 = 0 ， \\ k x - y + b = 0 \end{array}$ 的解是.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，通过尺规作图，得到直线 $D E$ 和射线 $A F$ ，仔细观察作图痕迹，若 $∠ B = 42 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，则 $∠ E A F =$ °．

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15. 如图，点A是反比例函数 $y_{2} = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象上的一动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ， $x > 0$ ）的图象交于点B、点C，连接 $O B$ ， $O C$ ．若四边形 $O B A C$ 的面积为5，则 $k =$ ．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $- 1^{2022} + {(3 - π)}^{0} - \frac{1}{8} \times {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、解方程： $\frac{x}{x - 3} = 1 - \frac{5 - 2 x}{3 - x}$ ．

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17. 先化简，再求值： $\frac{a + b}{a - b} \div (\frac{1}{a + b} + \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}})$
（其中a为图中数轴上的点A表示的实数，b为最小的非负数）．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ 交 $B D$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ A B C = 70 °$ ，求 $∠ A M B$ 的度数．

(2)、求证： $A E = C F$ ．

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19. 高平素有梨乡之称，高平大黄梨的甘酸适度，维生素、矿物质含量高，以黄梨为原料制成的梨干因食用方便更是受到了人们的青睐．某超市欲购进A、B两种袋装黄梨干，用160元购进的A种黄梨干与用240元购进的B种黄梨干的数量相同，每袋B种黄梨干的进价比A种黄梨干的进价贵10元．

(1)、求A、B两种黄梨干每袋的进价分别为多少元？

(2)、若该商店A种黄梨干每袋售价24元，B种黄梨干每袋售价35元，准备再次购进A，B两种黄梨干共100袋．在这100袋两种黄梨干全部售完的情况下，设购进A种黄梨干的数量为a袋，销售这两种黄梨干的利润为w元，写出w与a的函数关系式，若要保证售完后获利不低于468元，该商店该如何进货？

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20. 如图，已知反比例函数y₁＝ $\frac{k_{1}}{x}$ 与一次函数y₂＝k₂x+b的图象交于点A（1，8）、B（-4，m）．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求△AOB的面积；

(3)、若y₁＜y₂ ，直接写出x的取值范围．

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21. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

(1)、下列分式：① $\frac{x - 1}{x + 1}$ ；② $\frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ；③ $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ，其中是“和谐分式”的是　　（填写序号即可）；

(2)、若 $a$ 为整数，且 $- \frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，写出满足条件的 $a$ 的值为　　；

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式 $= \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \cdot \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{(a b^{2} - b^{3}) b^{2}}$ ，

小娟：原式 $= \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \cdot \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{b^{2} (a - b)}$ ，

你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．

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22. 【问题提出】如图①，在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 8$ ， $A C = 4$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．

(1)、【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长 $A D$ 到点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，再连接 $B E$ （或将 $△ A C D$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转 $180 °$ 得到 $△ E B D$ ），把 $A B$ 、 $A C$ 、 $2 A D$ 集中在 $△ A B E$ 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线 $A D$ 的取值范围是．

(2)、【应用】如图②，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 的中点，已知 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $A D = 2$ ，求 $B C$ 的长．

(3)、【拓展】如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，点 $E$ 在边 $A B$ 上，过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ 交边 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ．已知 $B E = 5$ ， $C F = 6$ ，直接写出 $E F$ 的长．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + 4 (k \neq 0)$ 与y轴交于点A．

(1)、如图，直线 $y = - 2 x + 1$ 与直线 $y = k x + 4 (k \neq 0)$ 交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为 $- 1$ ．
①求点B的坐标及k的值；
②直线 $y = - 2 x + 1$ 、直线 $y = k x + 4$ 与y轴所围成的 $△ A B C$ 的面积等于多少？

(2)、在（1）的条件下直线 $y = k x + 4 (k \neq 0)$ 与x轴交于点E，在x轴上是否存在点F，使 $△ A E F$ 是以 $A E$ 为腰的等腰三角形？如存在，请直接写出点F的坐标．

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