山西省吕梁市交城县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 化简 $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ 的正确结果是（）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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2. 下列二次根式，化简后能与 $\sqrt{5}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{0.5}$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 5 ， A C = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、6 B、 $\frac{15}{2}$ C、10 D、20

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4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中．这部著作是（）

A、《九章算术》 B、《周髀算经》 C、《孙子算经》 D、《海岛算经》

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{36} = \pm 6$ B、 $4 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4$ C、 $\sqrt{12} \div \sqrt{4} = \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{\frac{3}{2}} \times \sqrt{12} = 3 \sqrt{3}$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 5 c m ， A B - A D = 2.2 c m$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $2.2 c m$ B、 $2.8 c m$ C、 $5 c m$ D、 $7.2 c m$

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7. 下列命题中正确的是（）

A、平行四边形的对角线互相垂直 B、矩形的对角线相等 C、对角线相等的平行四边形是菱形 D、对角线互相垂直的平行四边形是正方形

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8. 已知 $(\sqrt{5} + 2) \cdot m = n$ ，若 $n$ 是整数，则 $m$ 的值可能是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} + 2$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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9. 如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米， $A C = 5$ 米， $A B = 13$ 米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）

A、65 $m^{2}$ B、85 $m^{2}$ C、90 $m^{2}$ D、150 $m^{2}$

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10. 如图，点E是平行四边形 $A B C D$ 的边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点F，连接 $A C ， D F$ ，若 $A B = A F$ ，则四边形 $A C F D$ 是（　　）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

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二、填空题

11. 二次根式 $\sqrt{{(a - 1)}^{2}}$ 有意义，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12. 已知△ABC的三边长分别为 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是．

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13. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示， $△ A B C$ 中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为（方程不用化简）．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 交于点O， $E O ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点E，已知 $△ A B E$ 的周长为8， $B C = 5$ ，则 $C D$ 的长为．

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15. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{\frac{5}{3}} \times \sqrt{27} - \sqrt{10} \div \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\sqrt{{(- 1)}^{2}} + {(\sqrt{5} - 2)}^{2} + (\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})$

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17. 已知三角形的三边 $a$ ， $b$ ， $c$ ，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ）；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ．若一个三角形的三边长分别是 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{6}$ ， $\sqrt{7}$ ，求这个三角形的面积．

(1)、你认为选择（填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便；

(2)、请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ，点E是 $A B$ 上一点， $A B = D E = 5$ ，若 $A D = 3$ ， $B E = 1$ ，求 $C D$ 的长．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 边上一点，且 $A B = B E$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点F，连接 $E F$ ．

(1)、尺规作图：根据题意将图形补充完整（保留作图痕迹，不写做法，标注相应字母）；

(2)、求证：四边形 $A B E F$ 是菱形．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E、点F分别是 $A D$ 、 $B C$ 的中点，连接 $B E$ ， $C E$ ， $A F$ ， $D F$ ， $B E$ 与 $A F$ 交于点G， $C E$ 与 $D F$ 交于点H．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形；

(2)、请判断四边形 $E G F H$ 的形状，并说明理由．

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21. 按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点．

(1)、在图1中作一个边长都为整数的格点直角三角形 $A B C$ ；

(2)、在图2中作一个边长分别为 $\sqrt{2}$ ， $2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ 的格点三角形 $D E F$ ；

(3)、在图3中作一个有一边长为 $\sqrt{5}$ 的格点平行四边形 $G H M N$ ．

(4)、请判断图2中所作 $△ D E F$ 的形状，并说明理由．

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22. 问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．

(1)、定理表述：
请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；


(2)、尝试证明：
利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．


(3)、定理应用：
某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段 $A E$ 铺设，需要绕道沿着矩形的边 $A B$ 和 $B C$ 铺设管道，经过测量 $A B = 16$ 米， $B E = 12$ 米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？


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23. 如图1，四边形 $A B C D$ 是菱形，点E，点F分别是 $A B$ ， $C B$ 边上的动点， $A E = C F$ ，连接 $D E$ ， $D F$ 交对角线 $A C$ 于点G，H．

(1)、求证： $D G = D H$ ；

(2)、如图2，连接 $B G$ ， $B H$ ，请判断四边形 $D G B H$ 是什么特殊四边形？并说明你的理由；

(3)、在图2中，如果 $A B = 4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，试探究在点E，F运动过程中，如果四边形 $D G B H$ 成为正方形，则 $A G$ 的长度是多少？（请直接写出答案）

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