山西省忻州地市2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 要使二次根式 $\sqrt{5 x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = \frac{2}{5}$ B、 $x \neq \frac{2}{5}$ C、 $x \geq \frac{2}{5}$ D、 $x \leq \frac{2}{5}$

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2. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{7} \div \sqrt{2} = \sqrt{5}$

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A D C ， ∠ B A D = ∠ B C D$ B、 $A B = D C ， A D = B C$ C、 $A O = C O ， B O = D O$ D、 $A B ∥ D C$ ， $A D = B C$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ -1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ -1 D、1- $\sqrt{5}$

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5. 如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是36，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（）

A、21 B、24 C、27 D、18

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6. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（）

A、 $A B = C D$ B、 $B C = C D$ C、 $∠ D = 90 °$ D、 $A C = B D$

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7. 如图，一个圆桶底面直径为8cm，高为12cm，则桶内所能容下的最长木棒的长度为（）．

A、8cm B、10cm C、 $4 \sqrt{5} c m$ D、 $4 \sqrt{13} c m$

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8. 若菱形的周长为 $100 c m$ ，有一条对角线为 $48 c m$ ，则菱形的面积为（）

A、 $336 c m^{2}$ B、 $480 c m^{2}$ C、 $300 c m^{2}$ D、 $168 c m^{2}$

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9. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）

A、27° B、53° C、57° D、63°

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10. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知 $∠ A = 90 °$ ，正方形ADOF的边长是2， $C F = 4$ ，则BD的长为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、10

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二、填空题

11. 化简： $\sqrt{8}$ =

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12. 如图，已知一块四边形草地 $A B C D$ ，其中 $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $A B = 10 m$ ， $C D = 5 m$ ，则这块土地的面积为．

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13. 已知 $a$ 是正整数， $\sqrt{18 a}$ 是整数，则 $a$ 的最小值是2．那么若 $b$ 是正整数， $\sqrt{\frac{240}{b}}$ 是大于1的整数，则 $b$ 的最大值与最小值的差是．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，过对角线 $B D$ 上一点 $P$ 作 $E F ∥ B C$ ， $G H ∥ A B$ ，且 $C G = 3 B G$ ， $S_{▱ B E P G} = 1.5$ ，则 $S_{▱ A E P H} =$ __．

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15. 如图，点D是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的一点，连接 $A D$ ，将 $△ B A D$ 沿 $A D$ 翻折得到 $△ E A D$ ，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点G，连接 $D E$ ，交 $A C$ 于点F，若 $D F ： E F = 1 ： 2 ， A G = 5 ， B G = 6 ， △ A D F$ 的面积是 $\frac{27}{4}$ ，则点G到 $B C$ 的距离是．

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三、解答题

16.

(1)、计算：

\sqrt{32} + \sqrt{8} - \sqrt{50}

；

(2)、下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：

解： ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} \times (5 + 2 \sqrt{6})$

$= (3 - 2 \sqrt{6} + 2) \times (5 + 2 \sqrt{6})$ ……第1步

$= (5 - 2 \sqrt{6}) \times (5 + 2 \sqrt{6})$ ………第2步

$= 25 - 12$ …………………………第3步

$= 13$ ． ………………………………第4步

任务：

①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为（用字母表示）；

②上述解答过程，从第步开始出错，具体的错误是；

③计算的正确结果为．

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17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．

(1)、在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)、在图2中，画一个等腰三角形，使它的面积为8；

(3)、在图3中，画一个正方形，使它的面积为5．

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．

(1)、判断四边形ABFC的形状并证明；

(2)、若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．

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19. 某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

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20. 如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．

(1)、求证：四边形AFCE是菱形；

(2)、若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．

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21. 如图，有一架秋千，当它静止在 $A D$ 的位置时，踏板离地的垂直高度为 $0.6 m$ ，将秋千 $A D$ 往前推送 $3 m$ ，到达 $A B$ 的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为 $1.6 m$ ，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)、根据题意， $B F =$ $m$ ， $B C =$ $m$ ， $C D =$ $m$ ；

(2)、根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．

(3)、如果想要踏板离地的垂直高度为 $2.6 m$ 时，需要将秋千 $A D$ 往前推送 $m$ ．

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22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $3 + 2 \sqrt{2} = 1 + 2 \sqrt{2} + 2 = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：设 $a + b$ $\sqrt{2}$ $= {(m + n \sqrt{2})}^{2}$ （其中a、b、m、n均为整数），则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ ． ∴ $a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n$ ．这样小明就找到了一种把部分 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，用含m、n的式子分别表示a、b的值；

(2)、试着把 $7 + 4 \sqrt{3}$ 化成一个完全平方式；

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $△ A B E$ 是等腰三角形， $A B = A E$ ， $∠ B A E = θ (0 ° < θ < 90 °)$ ．连接 $D E$ ，过B作 $B F ⊥ D E$ 于F，连接 $A F$ ， $C F$ ．

(1)、若 $θ = 60 °$ ，求 $∠ B E D$ 的度数；

(2)、当 $θ$ 变化时， $∠ B E D$ 的大小会发生变化吗?请说明理由；

(3)、试用等式表示线段 $D E$ 与 $C F$ 之间的数量关系，并证明．

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