上海市黄浦区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）

A、 $x^{2} + y = \sqrt{2}$ 是二元二次方程 B、 $x^{2} - x = 0$ 是二项方程 C、 $\frac{x^{2} - x}{3} = 2$ 是分式方程 D、 $\frac{x^{2} - x}{x} = \sqrt{2}$ 是无理方程

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2. 一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距是（）

A、2 B、-3 C、-6 D、6

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3. 直线 $y = (\frac{1}{2} k - 1) x + 2 (1 - k)$ 的图象经过第一、二、四象限，那么 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 2$ B、 $k < 2$ C、 $k > 1$ D、 $k < 1$

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4. 如果关于 $x$ 的方程 $(m + 2) x = 8$ 无解，那么 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > - 2$ B、 $m = - 2$ C、 $m \neq - 2$ D、任意实数

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5. 在下列方程中，有实数根的方程的个数有（）
① $\sqrt{x + 2} + 3 = 0$ ；
② $\sqrt{x - 4} + \sqrt{3 - x} = 0$ ；
③ $\sqrt{x + 1} = - x$ ；
④ $\sqrt{2 x - 3} + \sqrt{3 - 2 x} = 0$ ；
⑤ $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ ；
⑥ $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^{2} - 1}$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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6. 如图，已知直线 $M N$ ： $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 是 $x$ 轴上的一点，且 $O C = 2$ ，则 $∠ M B C$ 的度数为（）

A、 $45 °$ 或 $135 °$ B、 $30 °$ 或 $150 °$ C、 $60 °$ 或 $120 °$ D、 $75 °$ 或 $165 °$

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二、填空题

7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} x + 1$ ，那么 $f (\sqrt{2}) =$ ．

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8. 若 $y = (m - 2) x + m^{2} - 5 m + 5$ 是 $y$ 关于 $x$ 的正比例函数，则 $m =$ ．

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9. 已知直线 $y = (k - 2) x + 3$ 与直线 $y = 3 x - 2$ 平行，那么 $k =$ ．

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10. 已知一次函数 $y = (- 3 k + 2) x + 4$ ， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，那么 $k$ 的取值范围是．

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11. 分式 $\frac{x^{2}}{x - 3}$ 和 $\frac{3 x}{3 - x}$ 的值相等，那么 $x =$ ．

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12. 方程 $\sqrt{x + 1}$ ＝4的解是．

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13. 用换元法解分式方程 $\frac{x - 2}{x} - \frac{3 x}{x - 2} - 2 = 0$ 时，如果设 $\frac{x - 2}{x} = y$ ，则原方程可化为关于 $y$ 的整式方程是．

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14. 如果 $x = 3$ 是方程 $\frac{x}{x - 3} = 2 - \frac{k}{3 - x}$ 的增根，那么 $k$ 的值为．

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15. 一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则由图象可知关于 $x$ 的方程 $k x + b = 0$ 的解为．

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16. 观察下列方程：①x+ $\frac{2}{x}$ =3；②x+ $\frac{6}{x}$ =5；③x+ $\frac{12}{x}$ =7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+ $\frac{n^{2} + n}{x - 3}$ =2n+4（n为正整数）的解x= ．

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17. 一次函数 $y = k x + b (b \neq 0)$ 图象与坐标轴围成的三角形称为该一次函数的坐标三角形．已知一次函数 $y = x + m$ 的坐标三角形的面积为3，则该一次函数的解析式为．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，点 $C (0 ， 4)$ ，射线 $C E / / x$ 轴，直线 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 交线段 $O C$ 于点B，交x轴于点A，D是射线 $C E$ 上一点．若存在点D，使得 $△ A B D$ 恰为等腰直角三角形，则b的值为．

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三、解答题

19. 解方程： $\frac{3}{x^{2} + x - 2} - \frac{1}{x - 1} = 1$ ．

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20. 解方程： $\sqrt{x - 1} + x = 7$

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21. 解方程组： ${\begin{array}{l} 4 x^{2} + 4 x y + y^{2} = 9 \\ x^{2} + 5 x y - 6 y^{2} = 0 \end{array}$ ．

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22. 用换元法解方程组： ${\begin{array}{l} \frac{1}{x + y} + \frac{2}{x - y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y} = 1 \end{array}$ ．

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23. 已知 $y + 2$ 与 $3 x$ 成正比例，当 $x = 1$ 时， $y$ 的值为 $4$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、求该函数图象与坐标轴围成的三角形周长．

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24. 在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度 $y$ （米）与施工时间 $x$ （时）之间的关系的部分图象，请解答下列问题．

(1)、乙队在 $2 \leq x \leq 6$ 的时段内的速度是米/时，当甲队铺了50米时，乙队铺了米．

(2)、如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队，乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙队反而比甲队提前1小时完成总铺设任务．求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？

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25. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．

(1)、判断分式方程 $\frac{1}{1 - x} + 1 = \frac{2}{1 + x}$ 与无理方程 $\sqrt{x^{2} - 2} = \sqrt{2 x + 1}$ 是否是“相似方程”，并说明理由；

(2)、已知关于 $x$ ， $y$ 的方程： $4 x^{2} + 9 y^{2} = 8 - 12 x y$ 和 $2 x + 3 y = 4$ ，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；

(3)、已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程： $y = (k + 1) x - 4$ 和 $x = y + 3 k$ （其中 $k$ 为整数）是“相伴方程”，求 $k$ 的值．

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26. 已知：点 $P (1 ， m)$ 、 $Q (n ， \frac{1}{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{2 x}$ 的图象上，直线 $y = k x + b$ 经过点 $P$ 、 $Q$ ，且与 $x$ 轴， $y$ 轴的交点分别为 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求直线 $A B$ 的表达式；

(2)、 $O$ 为坐标原点， $C$ 在直线 $P Q$ 上且满足 $A B = A C$ ，点 $D$ 在坐标平面内，顺次联接点 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的四边形满足： $B C ∥ O D$ ， $B O = C D$ ，求 $D$ 点坐标．

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