（冀教版）2023-2024学年九年级数学上册24.3 一元二次方程根与系数的关系期中复习

试卷更新日期：2023-07-03 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知a，b是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 2 ＝ 0$ 的两根，则 $\frac{2 a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a - b}$ 的值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、－2

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2. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、6 B、2 C、4 D、3

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3. 设a，b是方程 $x^{2} + x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 2 a + b$ 的值为（）

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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4. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 2 x - m^{2} = 0$ 的两根，下列结论中不一定正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} > 0$ B、 $x_{1} x_{2} < 0$ C、 $x_{1} \neq x_{2}$ D、方程的根有可能为0

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5. 若 $a ， b$ 方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $a + b =$ （）

A、2 B、-2 C、3 D、-3

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6. 若m、n是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{n^{3} + n^{2} m}{2 n - 1}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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7. 若关于x的方程x²＋2mx＋m²＋3m－2＝0有两个实数根x₁、x₂ ，则x₁（x₂＋x₁）＋x₂²的最小值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、－2

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8. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)和(0，3)两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（）
①不等式ax²＋c＜－bx的解集为x＜－1或x＞3；②9a²－b²＜0；③一元二次方程cx²＋bx＋a＝0的两个根分别为x₁＝，x₂＝－1；④6≤3n－2≤10．

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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9. 如图，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ 和 $(m ， 0)$ ，请思考下列判断：
① $a b c < 0$ ；② $4 a + c < 2 b$ ；③ $\frac{b}{c} = 1 - \frac{1}{m}$ ；④ $a m^{2} + (2 a + b) m + a + b + c < 0$ ；⑤ $| a m + a | = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ .
正确的是（）

A、①③⑤ B、①③④ C、①②③④⑤ D、①②③⑤

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10. 平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²-3ax+c（a≠0）与直线y＝2x+1上有三个不同的点A（x₁ ， m），B（x₂ ， m），C（x₃ ， m），如果n＝x₁+x₂+x₃ ，那么m和n的关系是（）

A、m＝2n-3 B、m＝n²-3 C、m＝2n-5 D、m＝n²-5

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二、填空题

11. 一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} =$ .

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12. 若 $x_{1} 、 x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} x_{^{2}}$ 的值是.

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13. 设a、b是方程 $x^{2} + 2 x - 2022 = 0$ 的两个不等的根，则 $a^{2} + 4 a + 2 b$ 的值.

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14. 已知一元二次方程 $x^{2} - 2023 x + 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为．

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15. 如图，若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若 $∠ O A C = ∠ O C B$ .则 $a c$ 的值为.

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三、解答题

16. 已知关于x的方程 $x^{2} - 3 x - k + 9 = 0$ 的两个实根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .且满足 $x_{1} = - 2 x_{2}$ ，试求这个方程的两个实根及k的值.

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17. 反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象上有一点P（m，n），其中坐标是关于t的一元二次方程t²﹣3t+k=0的两根，且P点到原点的距离为 $\sqrt{13}$ ，求反比例函数的解析式．

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18. 已知关于x的一元二次方程x²= 2(1—m)x—m²的两实数根为x₁ ， x₂ ，
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x₁ + x₂ ，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出y的最小值。

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19. 已知关于x的方程x²－2(k－1)x＋k²＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ．
⑴求k的取值范围；
⑵若|x₁＋x₂|＝x₁x₂－1，求k的值．

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四、综合题

20. 如图，抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C.

(1)、直接写出抛物线 $C_{1}$ 的解析式；

(2)、如图（1），有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点O，B之间平行移动，直尺两长边被线段 $B C$ 和抛物线 $C_{1}$ 截得两线段 $D E$ ， $F G$ .设点D的横坐标为t，且 $0 < t < 2$ ，试比较线段 $D E$ 与 $F G$ 的大小；

(3)、如图（2），将抛物线 $C_{1}$ 平移得到顶点为原点的抛物线 $C_{2}$ ， M是x轴正半轴上一动点， $N (0 ， 3)$ .经过点M的直线 $P Q$ 交抛物线 $C_{2}$ 于P，Q两点.当点M运动到某一个位置时，存在唯一的一条直线 $P Q$ ，使 $∠ P N Q = 90 °$ ，求点M的坐标.

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21. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 3 = 0$ 的两个实数根.

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、是否存在实数根 $m$ ，使 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = m + 6$ 成立，若存在，求出 $m$ 的值，若不存在，请说明理由.

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22. 已知关于x的一元二次方程x²+（2m﹣3）x+m²＝0有两个实数根x₁ ， x₂.

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、若x₁+x₂＝6﹣x₁x₂ ，求m的值.

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23. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“雅心点”，例如点（ $- 1$ ， 1），（0，0），（ $\sqrt{2}$ ， 2），…都是“雅心点”，显然，这样的“雅心点”有无数个.

(1)、求一次函数 $y = x + 2$ 上的所有“雅心点”的坐标为；

(2)、若过点（1， $- 3$ ）的直线上恰好只有一个“雅心点”，请求出符合要求的直线解析式；

(3)、若二次函数 $y = a x^{2} - 6 a x + 9 a - 1$ （a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“雅心点”，且“雅心点”的横坐标的值都不大于2，试求实数a的取值范围.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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