（华师大版）2023-2024学年八年级数学上册12.3.2 两数和（差）的平方同步测试

试卷更新日期：2023-07-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形.已知关于a的代数式 $A = a^{2} + a$ ，请结合你所学知识，判断下列说法：①当 $a = - 2$ 时， $A = 2$ ；②无论a取任何实数，不等式 $A + \frac{1}{4} \geq 0$ 恒成立；③若 $A - 1 = 0$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 3$ .正确的有（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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2. 已知 ${(3 x + a)}^{2} = 9 x^{2} + b x + 4$ ，则b的值为（）

A、6 B、 $\pm 6$ C、12 D、 $\pm 12$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 x + 3 y = 5 x y$ B、 ${(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$ C、 ${(- 2 a^{3} b^{2})}^{3} = - 8 a^{9} b^{6}$ D、 $x^{6} \div x^{3} = x^{2}$

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4. 若 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x + y)}^{2} + A$ ，则 A 为（）

A、 $4 x y$ B、 $- 4 x y$ C、 $2 x y$ D、 $- 2 x y$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 ${(- m)}^{7} \div {(- m)}^{2} = - m^{5}$ C、 ${(3 a^{2} b)}^{2} = 6 a^{4} b^{2}$ D、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4$

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6. 若a+x²＝2020，b+x²＝2021，c+x²＝2022，则a²+b²+c²-ab-bc-ca的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 2 x + 1$ B、 $1 - 2 x + x^{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} - 2 a b$ D、 $4 x^{2} + 4 x - 1$

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8. 已知x+y=3，xy=-2，则x²-xy+y²的值是（）

A、15 B、11 C、7 D、3

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9. 已知a-b＝3，ab＝2，则a²-ab+b²的值为（）

A、9 B、13 C、11 D、8

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10. 已知长方形的两条邻边的长分别为 $x ， y$ ，其周长为14，面积为10，其代数式为 $x^{2} + 3 x y + y^{2}$ 的值为（）

A、140 B、59 C、35 D、24

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二、填空题

11. 我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形.已知关于a的代数式 $A = a^{2} + a$ ，请结合你所学知识，判断下列说法：①当 $a = - 2$ 时， $A = 2$ ；②无论a取任何实数，不等式 $A + \frac{1}{4} \geq 0$ 恒成立；③若 $A - 1 = 0$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 4$ ；正确的有.

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12. 若 $x^{2} + 2 (m + 3) x + 9$ 是关于 $x$ 的完全平方式，则 $m =$ ．

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13. 若x+y＝6，xy＝7，则x²+y²的值等于．

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14. 若 ${(x + y)}^{2} = 12$ ， ${(x - y)}^{2} = 8$ ，则xy= ．

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15. 若 $m + n = 2 ， m^{2} - n^{2} = 12$ ，则 ${(m - n)}^{2} =$ ．

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三、解答题

16. 已知m²＋ $\frac{1}{m^{2}}$ ＝4，求m＋ $\frac{1}{m}$ 和m－ $\frac{1}{m}$ 的值．

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17. 已知a+b＝7，ab＝5，求 $a^{2} + b^{2}$ 和 ${(a - b)}^{2}$ 的值．

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18. 某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现：
$25^{2} = 100 \times 2 \times (2 + 1) + 25 = 625$ ， $45^{2} = 100 \times 4 \times (4 + 1) + 25 = 2025$ ，…

即：末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25，例如： $75^{2} = 5625$ .

请问：该结论正确吗？若两位数的十位数字为 $m$ ，请用代数式说明理由.

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19. 已知 $a 、 b 、 c$ 是三边 $Δ A B C$ 的长，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 50 = 6 a + 8 b + 10 c$ ，求 $Δ A B C$ 三边的长.

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四、综合题

20. 如图①，在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

(1)、请你用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积，并写出等式；

(2)、如图③，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 32$ ，求图中阴影部分的面积．

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21. 【阅读理解】
“若x满足 $(80 - x) (x - 60) = 30$ ，求 ${(80 - x)}^{2} + {(x - 60)}^{2}$ 的值”
解：设 $(80 - x) = a$ ， $(x - 60) = b$ ，则 $(80 - x) (x - 60) = a b = 30$ ， $a + b = (80 - x) + (x - 60) = 20$ ，所以 ${(80 - x)}^{2} + {(x - 60)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 2 0^{2} - 2 \times 30 = 340$
【解决问题】

(1)、若x满足 $(25 - x) (18 - x) = 30$ ，求 ${(25 - x)}^{2} + {(18 - x)}^{2}$ 的值．

(2)、若x满足 $x^{2} + {(10 - x)}^{2} = 260$ ，求 $x (10 - x)$ 的值．

(3)、如图，正方形ABCD的边长为x， $A E = 6$ ， $C G = 8$ ，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．

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22. 已知m-n＝6，mn＝4．

(1)、求m²+n²的值．

(2)、求（m+2）（n-2）的值．

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23. 问题背景
如图，图1，图2分别是边长为 $(a + b)$ ， a的正方形，由图1易得 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．
　　　
类比探究
类比由图1易得公式 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题

(1)、计算： ${(2 m - n)}^{2} =$ ；

(2)、运用完全平方公式计算： $10 5^{2}$ ；

(3)、已知 ${(x + y)}^{2} = 12$ ， $x y = 2$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值．

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（华师大版）2023-2024学年八年级数学上册12.3.2 两数和（差）的平方 同步测试

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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