内蒙古包头市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-01 类型：中考真卷

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一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1. 下列各式计算结果为 $a^{5}$ 的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2}$ B、 $a^{10} \div a^{2}$ C、 $a^{4} \cdot a$ D、 $(- 1)^{- 1} a^{5}$

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2. 关于 $x$ 的一元一次不等式 $x - 1 ⩽ m$ 的解集在数轴上的表示如图所示，则 $m$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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3. 定义新运算“ $\otimes$ ”，规定： $a \otimes b = a^{2} - | b |$ ，则 $(- 2) \otimes (- 1)$ 的运算结果为（）

A、-5 B、-3 C、5 D、3

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4. 如图，直线 $a / / b$ ，直线 $l$ 与直线a，b分别相交于点A，B，点 $C$ 在直线 $b$ 上，且 $C A = C B$ ，若 $∠ 1 = 3 2^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $3 2^{°}$ B、 $5 8^{°}$ C、 $7 4^{°}$ D、 $7 5^{°}$

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5. 几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作 $m$ 和 $n$ .若点 $A$ 的坐标记作 $(m ， n)$ ，则点 $A$ 在双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 上的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 $α$ ，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 在平面直角坐标系中，将正比例函数 $y = - 2 x$ 的图象向右平移3个单位长度得到一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象，则该一次函数的解析式为（）

A、 $y = - 2 x + 3$ B、 $y = - 2 x + 6$ C、 $y = - 2 x - 3$ D、 $y = - 2 x - 6$

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9. 如图， $⊙ O$ 是锐角三角形ABC的外接圆， $O D ⊥ A B ， O E ⊥ B C ， O F ⊥ A C$ ，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若 $D E + D F = 6.5 ， △ A B C$ 的周长为21，则EF的长为（）

A、8 B、4 C、3.5 D、3

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 三个顶点的坐标分别为 $O (0 ， 0)$ ， $A (2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $B (\sqrt{3} ， 1)$ ， $△ O A^{^{'}} B$ 与 $△ O A B$ 关于直线OB对称，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象与 $A^{^{'}} B$ 交于点 $C$ .若 $A^{^{'}} C = B C$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。

11. 若a，b为两个连续整数，且 $a < \sqrt{3} < b$ ，则 $a + b =$ .

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12. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} =$ .

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13. 如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点 $O$ ，以点 $B$ 为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点 $E$ ，则图中阴影部分的面积为.

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14. 已知二次函数 $y = - a x^{2} + 2 a x + 3 (a > 0)$ ，若点 $P (m ， 3)$ 在该函数的图象上，且 $m \neq 0$ ，则 $m$ 的值为.

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15. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， A C = 3 ， B C = 1$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B^{^{'}} C^{^{'}}$ .连接 $B B^{^{'}}$ ，交AC于点 $D$ ，则 $\frac{A D}{D C}$ 的值为.

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16. 如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点 $F$ .下列结论：
①CF平分 $∠ A C D$ ；② $A F = 2 D F$ ；③四边形ABCF是菱形；④ $A B^{2} = A D • E F$

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

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三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。

17.

(1)、先化简，再求值： $(a + 2 b)^{2} + (a + 2 b) (a - 2 b)$ ，其中 $a = - 1 ， b = \frac{1}{4}$ .

(2)、解方程： $\frac{3}{x - 1} = 5 + \frac{3 x}{1 - x}$ .

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18. 在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一.图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图.

请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；

(2)、通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点(写出一条即可)，并提出一条增加月销量的合理化建议.

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19. 为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 $B$ 点和 $C$ 点，行进路线为 $A \to B \to C \to A$ . $B$ 点在 $A$ 点的南偏东 $2 5^{°}$ 方向 $3 \sqrt{2} k m$ 处， $C$ 点在 $A$ 点的北偏东 $8 0^{°}$ 方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角 $∠ A B C$ 为 $4 5^{°}$ .
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角 $∠ B C A$ 的度数；

⑵求检查点 $B$ 和 $C$ 之间的距离(结果保留根号).

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20. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中。某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第 $x$ ( $x$ 为整数)个月每台的销售价格为 $y$ (单位：元)， $y$ 与 $x$ 的函数关系如图所示(图中ABC为一折线).

(1)、当1≤ $x$ ≤10时，求每台的销售价格 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、设该产品2022年第 $x$ 个月的销售数量为 $m$ (单位：万台)， $m$ 与 $x$ 的关系可以用 $m = \frac{1}{10} x + 1$ 来描述.求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？
(销售收入=每台的销售价格 $\times$ 销售数量)

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21. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，AC是弦， $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $P$ 是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP.

(1)、求证：∠ADC-∠BAC=90°；（请用两种证法解答）

(2)、 $∠ A C P = ∠ A D C$ ， $⊙ O$ 的半径为 $3 ， C P = 4$ ，求AP的长.

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22. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 $O$ ，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点 $E$ .

(1)、如图1，连接QA.当 $Q A = Q P$ 时，试判断点 $Q$ 是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；

(2)、如图2， $∠ A P B = 9 0^{°}$ ，且 $∠ B A P = ∠ A D B$ ，
①求证： $A E = 2 E P$ ；

②当 $O Q = O E$ 时，设 $E P = a$ ，求PQ的长（用含a的代数式表示）.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 3 x + 1$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 交抛物线于B，C两点（点B在点 $C$ 的左侧），交 $y$ 轴于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ .

(1)、求点D，E，C的坐标；

(2)、F是线段OE上一点 $(O F < E F)$ ，连接AF，DF，CF，且 $A F^{2} + E F^{2} = 21$ .
①求证： $△ D F C$ 是直角三角形；

② $∠ D F C$ 的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当 $3 t a n ∠ P F K = 1$ 时，求点 $P$ 的坐标.

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