浙江省杭嘉湖金四县区2022-2023学年高二5月月考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知 $n ∈ N^{∗}$ ， $C_{2 n}^{5} = C_{2 n}^{n - 1}$ ，则 $n$ 的值为（）

A、 $6$ B、 $4$ C、5或3 D、4或6

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2. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $8 a_{2} + a_{5} = 0$ ，则 $\frac{S_{5}}{S_{2}} =$ （）

A、11 B、5 C、 $- 8$ D、 $- 11$

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3. 设某项试验的成功率是失败率的 $2$ 倍，用随机变量 $ξ$ 去表示 $1$ 次试验的成功次数，则 $P (ξ = 0)$ 等于（）

A、 $0$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 已知函数 $f (x) = l n (2 x) + x^{2}$ ，下列直线不可能是曲线 $y = f (x)$ 的切线的是（）

A、 $(\frac{2}{e} + e) x - y - \frac{e^{2}}{4} = 0$ B、 $12 x - 4 y - 5 = 0$ C、 $8 x - 4 y - 3 = 0$ D、 $3 x - y - 2 + l n 2 = 0$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} + a_{n} (m ， n \in N^{*})$ ，若 $a_{k} a_{k + 1} = 1680$ ，则正整数 $k$ 值为（）

A、20 B、21 C、22 D、23

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6. 学校以劳动周形式开展劳育工作创新实践，学校开设“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“3D打印”四种课程.甲、乙、丙3名同学每名同学至少从中选一种，每种课程都恰有1人参加，记A=“甲参加民俗文化”，B=“甲参加茶艺文化”，C=“乙参加茶艺文化”，则下列结论正确的是（）

A、事件A与B相互独立 B、事件A与C互斥 C、 $P (C | A) = \frac{5}{12}$ D、 $P (B | A) = \frac{5}{12}$

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7. 已知实数 $x ， y$ 满足 $e^{x} = y l n x + y l n y$ ，则满足条件的 $y$ 的最小值为（）

A、1 B、e C、 $2 e$ D、 $e^{2}$

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8. 现有n（n>2， $n \in N^{*}$ ）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其它无区别的小球，第k（k=1，2，3…n）个袋子中有k个红球， $n - k$ 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率为 $\frac{7}{16}$ ，则n=（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，第6项为常数项，则（）

A、 $n = 10$ B、展开式中项数共有13项 C、含 $x^{2}$ 的项的系数为 $\frac{45}{4}$ D、展开式中有理项的项数为3

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10. 某兴趣小组研究光照时长 $x (h)$ 和向日葵种子发芽数量 $y ($ 颗 $)$ 之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉 $D (10 ， 2)$ 后，下列说法正确的是（）

A、相关系数 $r$ 的绝对值变小 B、决定系数 $R^{2}$ 变大 C、残差平方和变大 D、解释变量 $x$ 与响应变量 $y$ 的相关性变强

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11. 设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 定义域交集为 $I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得对任意 $x \in I$ 都有 $(f (x) - g (x)) (x - x_{0}) \geq 0$ ，则称 $(f (x) ， g (x))$ 构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相关函数对”的有（）

A、 $f (x) = e^{x} (x \in R) ， g (x) = x + 1 (x \in R)$ B、 $f (x) = l n x (x > 0) ， g (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ C、 $f (x) = \sqrt{x} (x \geq 0) ， g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} (x \in R)$ D、 $f (x) = x (x \in R) ， g (x) = x^{2} (x \in R)$

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12. 某种疾病在某地区人群中发病率为0.1%.现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为0.02，患病人群检测为阴性的概率为0.05.设事件A=“某人不患该病”，B=“该人被检出阳性”，则（）

A、 $P (\bar{B} | A) = 0.98$ B、 $P (B) = 0.999$ C、该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为0.999 D、某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为0.045

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三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设随机变量 $X ～ B (6 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (x = 3) =$

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14. 若 ${(1 - 2 x)}^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} x^{2023} (x \in R)$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} \frac{a_{k}}{2^{k}}$ 的值为．

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15. 某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足： $E (P V P) = 350$ ， $D (P V P) = 10000$ .已知标准正态分布随机变量Z满足 $P (Z > - 1.645) = 0.95$ ，那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于．

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16. 已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则a的取值范围是．

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知函数 $f (x) = (x + a) \cdot e^{x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、过点 $O (0 ， 0)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的两条切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 前n项和为 $\frac{n^{2} + n}{2}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 3^{n} \cdot \sqrt{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况 $($ 午餐，晚餐 $)$
$(A ， A)$
$(A ， B)$
$(B ， A)$
$(B ， B)$
甲
30天
20天
40天
10天
乙
20天
25天
15天
40天

(1)、假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.计算某天甲同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率；

(2)、某天午餐，甲和乙两名同学准备去A，B这两个餐厅中某一个就餐.设事件M=“甲选择A餐厅就餐”，事件N=“乙选择A餐厅就餐”， $P (M) > 0$ ， $P (N) > 0$ .若 $P (\bar{M} | N) = P (\bar{M} | \bar{N})$ ，证明：事件M和N相互独立.

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20. 过点 $P (1 ， 0)$ 作曲线 $C ： y = x^{k} (x \in (0 ， + ∞) ， k \in N^{*} ， k > 1)$ 的切线，切点为 $Q_{1}$ ，设 $Q_{1}$ 在 $x$ 轴上的投影是点 $P_{1}$ ；又过点 $P_{1}$ 作曲线 $C$ 的切线，切点为 $Q_{2}$ ，设 $Q_{2}$ 在 $x$ 轴上的投影是点 $P_{2} ， ⋯$ ，依此下去，得到一系列点 $Q_{1} ， Q_{2} ， ⋯ ， Q_{n} ⋯$ ，设点 $Q_{n}$ 的横坐标是 $a_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $a_{n} \geq 1 + \frac{n}{k - 1}$ .

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21. 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p， $\frac{1}{3}$ ．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．

(1)、求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；

(2)、设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 $f (p)$ ．求p为何值时， $f (p)$ 取得最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{a x}} ， g (x) = l n x - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若关于x的方 $f (x) + g (x) =$ 1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.

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选择餐厅情况 $($ 午餐，晚餐 $)$	$(A ， A)$	$(A ， B)$	$(B ， A)$	$(B ， B)$
甲	30天	20天	40天	10天
乙	20天	25天	15天	40天