广东省深圳市盐田区2022-2023学年高二下册5月月考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：月考试卷

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一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 直线 $l_{1} ： m x - y + 1 = 0 ， l_{2} ： (3 m - 2) x + m y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、 $\frac{1}{3}$ 或1

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2. 广东省新高考采用的是“ $3 + 1 + 2$ ”模式：“3”为全国统考科目语文､数学､外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理､历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治､地理､化学､生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（）

A、4种 B、6种 C、8种 D、12种

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3. 有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上.被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）.观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，各项都是正数，且 $a_{1} ， \frac{1}{2} a_{3} ， 2 a_{2}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{8} + a_{9}}{a_{7} + a_{8}} =$ （）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为 $A D ， C_{1} D_{1}$ 的中点， $O$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心，则异面直线 $M N$ 与 $O D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{6}$

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7. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上（ $P$ 不与 $A_{1} ， A_{2}$ 重合），且直线 $P A_{2}$ 的斜率的取值范围是 $[- 2 ， - 1]$ ，那么直线 $P A_{1}$ 斜率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{8} ， \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[\frac{3}{4} ， 1]$

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8. 已知 $a = l n \frac{5}{6} ， b = \frac{6}{11} ， c = e^{- \frac{5}{6}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列是递增数列的是（）

A、 ${2 n + 1}$ B、 ${2^{2 n} - 2^{n + 3}}$ C、 ${2^{n} - n}$ D、 ${(- 2)^{n}}$

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10. 一条光线从点 $A (- 2 ， 3)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ 相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（）

A、 $3 x - 4 y - 1 = 0$ B、 $3 x - 4 y - 6 = 0$ C、 $4 x - 3 y - 1 = 0$ D、 $4 x - 3 y - 6 = 0$

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11. 下列说法正确的是（）

A、数据 $7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 10 ， 14 ， 18$ 的中位数为11 B、一组数据 $7 ， 8 ， 8 ， 9 ， 11 ， 13 ， 15 ， 17 ， 20 ， 22$ 的第70百分位数为16 C、随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $ξ \sim N (10 ， 4)$ ，则标准差为2 D、设随机事件 $A$ 和 $B$ ，已知 $P (A) = 0.8 ， P (B ∣ A) = 0.6 ， P (B ∣ \bar{A}) = 0.1$ ，则 $P (B) = 0.5$

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12. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体 $A B C D$ 的棱长为4，则下列结论正确的是（）

A、勒洛四面体最大的截面是正三角形 B、若 $P ， Q$ 是勒洛四面体 $A B C D$ 表面上的任意两点，则 $P Q$ 的最大值为4 C、勒洛四面体 $A B C D$ 的体积是 $8 \sqrt{6} π$ D、勒洛四面体 $A B C D$ 内切球的半径是 $4 - \sqrt{6}$

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三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (2 ， 1 ， m)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1 ， \frac{1}{2} ， 2)$ ，且 $l ∥ α$ ，则 $m =$ .

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14. 已知 $A (- 3 ， 0) ， B (3 ， 0) ， P$ 为圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 10 x + 9 = 0$ 上的动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为.

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15. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} \cdot a_{i} =$ .

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16. 关于 $x$ 的不等式 $x l n a ⩾ l n x (a > 1)$ 对任意 $x ⩾ 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（共6小题，第17题10分，其余题目均为12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 在 $△ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $2 c s i n B = (2 a + c) t a n C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，求 $a + 2 c$ 的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1 ， S_{n} = n a_{n + 1} - n (n + 1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前100项和 $T_{100}$ .

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19. 一年或多年连续种植同一种农作物，会对生产造成不利影响，某校生物科技小组，在同一块试验田内交替种植 $A ､ B ､ C$ 三种农作物（该试验界每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植 $A$ 的前提下再种植 $B$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，种植 $C$ 的概率为 $\frac{2}{3}$ ；在每次种植 $B$ 的前提下再种植 $A$ 的概率为 $\frac{1}{4}$ ，种植 $C$ 的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在每次种植 $C$ 的前提下再种植 $A$ 的概率为 $\frac{2}{5}$ ，种植 $B$ 的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、在第一次种植 $B$ 的前提下，求第三次种植 $A$ 的概率；

(2)、在第一次种植 $A$ 的前提下，求种植 $A$ 作物次数 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D ， A B = 2 P D = 2 A D = 4$ ，点 $E$ 在线段 $A B$ 上，且 $A E = 3$ .

(1)、求证： $C E ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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21. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，点 $P (2 ， - 1)$ 在双曲线 $E$ 上.

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、点 $A ， B$ 是双曲线 $E$ 上异于点 $P$ 的两点，直线 $P A ， P B$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M ， N$ 两点，且 $\vec{O M} + \vec{O N} = 0$ ，求证：直线 $A B$ 过定点，并求出该定点坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{2} x - 2 a \sqrt{x}$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{2} ⩾ e^{2} x_{1}$ ，求 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ 的最大值.

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