广东省广州市黄埔区2023年高三模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} - 3 x \leq 0 ， x \in N^{*}}$ ， $B = {x | l o g_{3} x \geq 1}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）

A、 $[0 ， 3]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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3. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为 $3 \sqrt{5} π$ ，则原圆锥的母线长为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{1}{(x - 1) l n | x |}$ 的大致图象是（）．

A、 B、 C、 D、

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5. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列，则称数列 ${a_{n}}$ 为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球， $⋯$ ，则第40层放小球的个数为（）

A、1640 B、1560 C、820 D、780

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6. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 $M$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ，且 $f (x) - 2024$ 为奇函数，则不等式 $f (x) - 2023 e^{x} < 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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8. 我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即 $\frac{1}{2} V_{球} = π R^{2} \cdot R - \frac{1}{3} π R^{2} \cdot R = \frac{2}{3} π R^{3}$ ．现将椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 绕 $y$ 轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（）

A、 $128 π$ B、 $64 π$ C、 $32 π$ D、 $16 π$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) / / (\vec{a} + \vec{b})$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ D、 $\vec{b} - \vec{a}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\vec{a}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若 $X ∼ B (6 ， \frac{1}{3})$ ，则随机变量 $X$ 的方差 $D (X) = 2$ B、若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ， $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ，则 $P (μ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.3414$ C、若随机事件 $A ， B$ 满足 $P (A) = 0.7$ ， $P (B | A) = 0.6$ ， $P (B | \bar{A}) = 0.1$ ，则 $P (B) = 0.45$ D、数据5，7，8，11，13，15，17的第80百分位数为15

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x - c o s^{2} x + \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = k π + \frac{π}{12} (k \in Z)$ D、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = c o s 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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12. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，且 $a ， b ， c \in (0 ， + \infty)$ ， $f (2) = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{2}) > 0$ B、 $f (3) < 0$ C、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、 $f (1) f (- 1)$ 最小值为 $5 - 3 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. ${(1 + 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（用数字作答）．

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14. 写出经过点 $(1 ， 0)$ 且被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ 的一条直线的方程．

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15. 算盘是中国传统的“珠算”工具．下图是一把算盘，自右向左，分别是个位、十位、百位、 $⋯$ ，上面一粒珠（简称上珠）代表数字 $5$ ，下面一粒珠（简称下珠）代表数字 $1$ ，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨 $2$ 粒下珠，则算盘表示的数为质数（除了 $1$ 和本身没有其它的约数）的概率是.

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四、双空题

16. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a c o s B + 2 b c o s A = 0$ ，则 $\frac{t a n A}{t a n B} =$ ， $t a n C$ 的最大值是．

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五、解答题

17. 在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 5$ ， $b = 8$ ，设 $\vec{C A}$ 与 $\vec{C B}$ 的夹角为 $θ$ ．

(1)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，求 $c$ 及△ $A B C$ 的面积；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数 $f (θ) = 2 c o s^{2} (\frac{π}{4} + θ) - \sqrt{3} c o s 2 θ$ 的最大值与最小值．
条件①： $0 \leq c o s θ \leq s i n θ$ ；条件②： $0 \leq \vec{C A} \cdot \vec{C B} \leq 20 \sqrt{2}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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18. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，得到如下列联表：

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生	60	40	100
女生	30	70	100
合计	90	110	200

(1)、根据小概率值

α = 0.001

的

χ^{2}

独立性检验，判断是否有

99.9 %

的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)、现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为

\frac{1}{2}

，女生进球的概率为

\frac{1}{3}

，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数

ξ

的分布列和均值．

附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$α$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} = 2$ ， $S_{n} = \frac{n}{n + 2} a_{n + 1}$ ， $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ $(n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{(b_{n} - 1) (b_{n + 1} - 1)}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求证： $\frac{2}{3} \leq T_{n} < 1$ ．

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20. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，矩形 $B D E F$ 所在平面与平面 $A B C D$ 互相垂直，且 $A B = B C = B F = 1$ ， $A D = C D = \sqrt{3}$ ， $E F = 2$ ．

(1)、求证： $B C$ $⊥$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - D$ 的平面角的余弦值．

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21. 直线 $l$ 经过点 $T (t ， 0)$ $(t > 0)$ 且与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点．

(1)、若 $A (1 ， 2)$ ，求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与坐标轴不垂直， $M (m ， 0)$ ，证明： $∠ T M A = ∠ T M B$ 的充要条件是 $m + t = 0$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{- x + 1}$ ， $g (x) = a (x^{2} - 2 x) (a < 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数．

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