吉林省通化市梅河口市重点中学2022-2023学年高二下册数学6月月考试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：月考试卷

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答

1. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下表，若 $E (X) = 5$ ，则 $a =$ （）

$x$

3

    $a$

$P$

$\frac{1}{3}$

    $b$

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 等比数列 ${a_{n}}$ 为递减数列，若 $a_{2} a_{6} = 6 ， a_{3} + a_{5} = 5$ ，则 $\frac{a_{5}}{a_{7}} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、6

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3. 据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具.算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空.如下图所示：

如：10记为， 26记为， 71记为.现有4根算筹，可表示出两位数的个数为（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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4. 如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（）

A、96 B、84 C、60 D、48

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5. 样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的平均数 $\bar{x} = 4$ ，方差 $S^{2} = 1$ ，则样本数据 $2 x_{1} + 1 ， 2 x_{2} + 1 ， ⋯ ， 2 x_{n} + 1$ .的平均数，方差分别为（）

A、9，4 B、9，2 C、4，1 D、2，1

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6. 某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村均有1名干部，每个干部至多住3个村，则不同的选派方案共（）

A、243种 B、210种 C、150种 D、125种

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7. 某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学A，B，C，D，E，F到甲､乙､丙三个不同的社团开展活动，要求每个社团至少安排1人，且甲社团安排3人，A，B两人安排在同一个社团，C，D两人不安排在同一社团，则不同的安排方案是（）

A、56 B、28 C、24 D、12

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8. 已知 $a = e^{- 0.1} ， b = l n \frac{10 e}{11} ， c = 0 . 1^{0.1}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，请仔细审题，认真做答

9. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 有且仅有两个极值点 B、 $f (x)$ 在区间 $(2 ， + ∞)$ 上单调递增 C、若 $f (x)$ 在区间 $(m ， m + 1)$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围为 $m \leq - 4$ 或 $m \geq 3$ D、 $f (x)$ 可能有四个零点

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10. 已知 $(3 x - 2)^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2023} x^{2023}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{2023}$ B、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{2023} = 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{2023} = \frac{5^{2023} + 1}{2}$ D、 $a_{0} + \frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + \frac{a_{3}}{3^{3}} + ⋯ + \frac{a_{2023}}{3^{2023}} = - 1$

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11. 甲､乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $A$ 与 $C$ 独立 C、 $P (C ∣ A) = \frac{1}{2}$ D、 $P (C) = \frac{4}{9}$

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12. 历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有 $n (n \geq 2)$ 封不同的信，投入 $n$ 个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为 $a_{n}$ .例如两封信都投错有 $a_{2} = 1$ 种方法，三封信都投错有 $a_{3} = 2$ 种方法，通过推理可得： $a_{n + 1} = n (a_{n} + a_{n - 1}) (n \geq 3)$ .高等数学给出了泰勒公式： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} + ⋯$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{4} = 9$ B、 ${a_{n + 2} - (n + 2) a_{n + 1}}$ 为等比数列 C、 $\frac{a_{n}}{n!} = \frac{(- 1)^{2}}{2!} + \frac{(- 1)^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{(- 1)^{n}}{n!} (n \geq 2)$ D、信封均被投错的概率大于 $\frac{1}{e}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请仔细审题，认真做答

13. 若函数 $f (x) = 2 x - a l n x$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ ，则实数 $a =$ .

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14. 已知某生产线生产的某种零件的合格率是95%，该零件是合格品，则每件可获利10元，该零件不是合格品，则每件亏损15元.若某销售商销售该零件10000件，则该销售商获利的期望为万元.

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15. 已知某产品的一类部件由供应商 $A$ 和 $B$ 提供，占比分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，供应商 $A$ 提供的部件的良品率为 $0.96$ ，若该部件的总体良品率为 $0.92$ ，则供应商 $B$ 提供的部件的良品率为．

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16. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数 $C_{n}^{r}$ 都换成分数 $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}}$ ，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第10行第5个数是.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分，请仔细审题，认真做答

17. 某学习小组有3个男生和4个女生共7人：

(1)、将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？

(2)、将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？

(3)、现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？

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18. 已知 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于 $512$ .求：

(1)、 $n$ 的值；

(2)、展开式中的常数项；

(3)、展开式中系数最大的项.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 15 ， S_{7} = 49$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot 3^{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 某大学毕业生响应国家号召，到某村参加村委会主任应聘考核.考核依次分为笔试､面试.试用共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则将被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用.设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为 $\frac{2}{3} ， \frac{3}{4} ， \frac{4}{5}$ ，且各轮考核通过与否相互独立.

(1)、求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率；

(2)、设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列､数学期望和方差.

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{6} = 60 ， a_{3} + 3 a_{5} = 48$ .当 $n \in N^{*}$ 时， $2^{n} b_{1} + 2^{n - 1} b_{2} + ⋯ + 2 b_{n} = 3^{n} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{(2 b_{n} - 1) (2 a_{n} - 2)}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = e^{a x} ， a \in R$ .

(1)、令 $g (x) = \frac{f (x)}{x + 1}$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、证明： ${(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{6})}^{3} + \dots + {(\frac{1}{2 n})}^{n} < \frac{1}{\sqrt{e} (e - 1)} ， n \in N^{*}$ ；

(3)、若 $a = 1$ ，对于任意的 $m ， n \in R$ ，不等式 $\frac{2 f (2 m)}{f (n)} + b f (l n n) \cdot f (m) + 2 \geq 0$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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$x$	3	$a$
$P$	$\frac{1}{3}$	$b$