吉林省白山市2022-2023学年高三上册第一次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {x \in N ∣ x < 6}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {1 ， 4}$ ，则 $∁ {}_{U}(A \cup B)$ 等于（）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${5}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 ${0 ， 5}$

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2. 生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 $Q$ ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 $T$ 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 $K (n) = λ l n n$ 来描述该物种累计繁殖数量 $n$ 与入侵时间 $K$ （单位：天）之间的对应关系，且 $Q = \frac{T}{λ} + 1$ ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 $Q = 9$ ， $T = 80$ .据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ）（）

A、6.9天 B、11.0天 C、13.8天 D、22.0天

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3. “ $a = - 1$ ”是“直线 $l_{1} ： a x + 4 y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + (a - 3) y + 2 = 0$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知符号函数 $s g n x = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ，偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x$ ，则（）

A、 $s g n [f (x)] > 0$ B、 $f (\frac{2021}{2}) = 1$ C、 $s g n [f (2 k + 1)] = 1 (k \in Z)$ D、 $s g n [f (k)] = | s g n k | (k \in Z)$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (- x) - f (2 + x) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = l o g_{2} x$ ，则 $f (\frac{4039}{2}) + f (\frac{9}{4}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、2 D、3

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6. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} | a x - 2 |$ 的图象关于直线x=2对称，则函数f（x）图象的大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x}{1 + | x |}$ ，则不等式 $- 3 < f (2 x + 1) < 3$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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8. 下列关于命题的说法错误的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ” B、“ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = {log}_{a} x$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数”的充分不必要条件 C、若命题 $p$ ： $\exists n \in N$ ， $2^{n} > 1000$ ，则 $^{\neg} p : \forall n \in N$ ， $2^{n} \leq 1000$ D、命题“ $\exists x \in (- \infty, 0)$ ， $2^{x} < 3^{x}$ ”是真命题

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9. 曲线 $y = (a x + 2) e^{x}$ 在点 $(0 ， 2)$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + b$ ，则 $a b =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 8$ C、4 D、8

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10. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ， $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x^{2}} < \frac{1}{4}$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$

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11. 关于函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{e^{x}}$ ，有如下列结论：①函数 $f (x)$ 有极小值也有最小值；②函数 $f (x)$ 有且只有两个不同的零点；③当 $- 2 e^{2} < k < \frac{6}{e^{2}}$ 时， $f (x) = k$ 恰有三个实根；④若 $x \in [0 ， t]$ 时， $f {(x)}_{m a x} = \frac{6}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最小值为 $2$ ．其中正确结论的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 s i n \frac{2 π}{5} x ， - \frac{15}{4} \leq x \leq \frac{5}{4} \\ | l o g_{2} (x - 1) | ， x ＞ \frac{5}{4} \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ）满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4}) = m$ ，则（）

A、 $0 \leq m \leq 1$ B、 $x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2}$ C、 $x_{3} x_{4} - x_{3} - x_{4} = 0$ D、 $x_{3} x_{4} > 0$

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二、填空题

13. 命题“ $a x^{2} - 2 a x - 3 > 0$ 不成立”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 在△ABC中，点 $O$ 是 $B C$ 的三等分点， $| \vec{O C} | = 2 | \vec{O B} |$ ，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $F$ ，且 $\vec{A B} = m \vec{A E}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A F}$ ( $m > 0$ ， $n > 0$ )，若 $\frac{1}{m} + \frac{t^{2}}{n} (t > 0)$ 的最小值为3，则正数 $t$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x - 2 s i n x$ ，则不等式 $f (6 - 5 x) + f (x^{2}) \leq 0$ 的解集为.

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e^{x}} ， x \geq 0 \\ 3 x - x^{3} ， x < 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有3个不同实根，则实数 $a$ 取值范围为．

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三、解答题

17. 化简求值：

(1)、 ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + π^{0} + \log_{2} \frac{2}{3} - \log_{4} \frac{16}{9}$ ；

(2)、已知 $\tan α = - 2$ ，求 $\frac{2 \sin (π - α) + \sin (\frac{π}{2} + α)}{\cos (- α) + \sin (α - 3 π)}$ 的值．

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18. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 的单调性并给予证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若 $f (x) \leq x^{2}$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上有解，求实数a的取值范围.

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20. 已知：函数 $f (x) = (a x + 1) l n (x) - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， - 6)$ 处的切线方程；

(2)、直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，且经过原点，求直线 $l$ 的方程及切点坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数b的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ 时，证明： $l n (n + 1) \geq 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{n + 1}) - n l n 2$ ．

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