吉林省长春博硕名校2022-2023学年高一下册期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选

1. 若复数 $z = \frac{1}{2} + i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， i)$ C、 $(\frac{1}{2} ， - i)$ D、 $(\frac{1}{2} ， - 1)$

查看试题解析
2. 已知AD为 $△ A B C$ 的中线，则 $\vec{A D}$ 等于（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} - \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

查看试题解析
3. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 4$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s A =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

查看试题解析
4. 已知 $\vec{e}$ 为单位向量， $| \vec{a} | = 8$ ，向量 $\vec{a} ， \vec{e}$ 的夹角为 $\frac{3}{4} π$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量是（）

A、 $3 \sqrt{2} \vec{e}$ B、 $- 4 \sqrt{2} \vec{e}$ C、 $- 3 \sqrt{2} \vec{e}$ D、 $- 2 \sqrt{3} \vec{e}$

查看试题解析
5. 某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为 $| \vec{v_{1}} | = 8 k m / h$ ，水流的速度的大小为 $| \vec{v_{2}} | = 4 k m / h$ ，设 $\vec{v_{1}}$ 和 $\vec{v_{2}}$ 的夹角为 $θ (0 ° < θ < 180 °)$ ，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时， $c o s θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 为了得到函数 $y = s i n 2 x$ 的图像，只需将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

查看试题解析
7. 已知 $f (x) = c o s x \cdot s i n (x - \frac{π}{6})$ ，则下列描述中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，函数 $f (x)$ 最大值是 $\frac{1}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 不是该函数的一条对称轴 D、当 $x \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，函数 $f (x)$ 没有最小值

查看试题解析
8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a s i n B = \sqrt{3} b c o s A ， a = 3$ .若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $A D$ 的最大值是（）

A、3 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析

二、多选

9. 下列说法错误的有（）

A、三点确定一个平面 B、 $α$ 平面外两点A、B可确定一个平面 $β$ 与平面 $α$ 平行 C、三个平面相交，交线平行 D、棱台的侧棱延长后必交与一点

查看试题解析
10. 下列命题为真命题的是（）

A、若复数 $z_{1} > z_{2}$ ，则 $z_{1} ， z_{2} \in R$ B、若i为虚数单位，n为正整数，则 $i^{4 n + 3} = i$ C、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ D、若 $(1 + 2 i) a + b = 2 i$ ，其中a，b为实数，a=1，b=-1

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a^{2} + c^{2} - b^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ C、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $c = 2 a c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + φ) - c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $ω = 1$ B、若 $f (x)$ 为偶函数，则 $φ = \frac{2 π}{3}$ C、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上单调递增，则 $φ$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、若 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ ，则 $φ = \frac{π}{6}$

查看试题解析

三、填空题

13. 复数 $\frac{5}{i - 2} =$ .

查看试题解析
14. 如图，已知 $△ A B C$ 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为

查看试题解析
15. 已知正三棱锥 $S - A B C$ 的侧棱长为 $4 \sqrt{3}$ ，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为

查看试题解析

四、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} + 2 m - 8) + (m^{2} + 2 m - 3) i (m \in R)$ 在复平面内所对应的点为 $A$ .

(1)、若复数 $z - m + 2$ 为纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、若点 $A$ 在第三象限，求 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 的中点， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $∠ B D A = \frac{π}{3}$ ， $B C = B D$ ．

(1)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ 的值；

(2)、求 $\vec{A C}$ 与 $\vec{B D}$ 夹角的余弦值．

查看试题解析
19. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 面积；

(2)、求 $△ A B C$ 内切圆半径．

查看试题解析
20. 如图，棱长为6的正方体，截去八个一样的四面体，得到一个新的多面体，

(1)、求新多面体的体积；

(2)、新多面体的表面积是多少？

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及对称中心坐标：

(2)、先把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，若当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 时，关于 $x$ 的方程 $g (x) + 2 a - 1 = 0$ 有实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2} c o s x ， \frac{\sqrt{3}}{2} s i n x) ， \vec{b} = (\sqrt{3} ， - 1)$ .

(1)、当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时，求 $t a n x$ 的值；

(2)、设函数 $f (x) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ，且 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最大值以及对应的 $x$ 的值.

查看试题解析