浙江省杭州市六校联考2022-2023学年高一下册期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - 1 < x \leq 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $a = c o s \frac{π}{3}$ ， $b = 2^{0.2}$ ， $c = l o g_{2} \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $| x | < 3$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图，梯形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是一水平放置的平面图形 $A B C D$ 在斜二测画法下的直观图．若 $A_{1} D_{1}$ 平行于 $y_{1}$ 轴， $A_{1} B_{1} / / C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} B_{1} = \frac{3}{4} C_{1} D_{1} = 3$ ， $A_{1} D_{1} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $14$ B、 $7$ C、 $7 \sqrt{2}$ D、 $14 \sqrt{2}$

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5. 下列说法中正确的个数是（）
①平面 $α$ 与平面 $β$ ， $γ$ 都相交，则这三个平面有 $2$ 条或 $3$ 条交线．

②如果 $a$ ， $b$ 是两条直线， $a / / b$ ，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面．

③直线 $a$ 不平行于平面 $α$ ，则 $a$ 不平行于 $α$ 内任何一条直线．

④如果 $α / / β$ ， $a / / α$ ，那么 $a / / β$ ．

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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6. 圣 $\cdot$ 索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省， $1996$ 年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美 $.$ 小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高为 $10 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) m$ ，在它们之间的地面上的点 $M (B ， M ， D$ 三点共线 $)$ 处测得楼顶 $A$ ，教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $1 5^{∘}$ 和 $6 0^{∘}$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $3 0^{∘}$ ，则估算索菲亚教堂的高度为（）

A、 $20 m$ B、 $20 \sqrt{3} m$ C、 $20 \sqrt{6} m$ D、 $10 \sqrt{3} m$

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7. 在四面体 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 90 °$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A C = C D .$ 过点 $B$ 作垂直于平面 $A C D$ 的平面 $α$ 截该四面体，若截面面积存在最小值，则 $t a n ∠ A C B$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt[4]{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt[4]{3}$

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8. 已知 $a^{2} - 2 a b - 3 b^{2} = 1$ ，且 $- 1 ⩽ l o g_{2} (a + b) \leq 1$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， \frac{5}{3}]$ B、 $[1 ， \frac{5}{4}]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[- 1 ， \frac{7}{4})$

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列命题为真命题的是（）

A、复数 $2 - 2 i$ 的虚部为 $- 2 i$ B、若 $i$ 为虚数单位，则 $i^{2023} = - i$ C、复数 $- 2 - i$ 在复平面内对应的点在第三象限 D、复数 $\frac{5}{- 2 + i}$ 的共轭复数为 $- 2 - i$

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10. 如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $C$ 的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $8 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ D、若 $A B = B C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $2 (\sqrt{3} + 1)$

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11. 已知 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2 .$ 则下列结论正确（）

A、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ B、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为 $2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $b c o s A + a c o s B = \sqrt{2}$ D、 $\frac{c o s B}{c o s A}$ 的取值范围为 $(- \infty ， \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup^{} (\sqrt{3} ， + \infty)$

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折到 $△ P B D$ 位置，连结 $P C$ ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $P C$ 与平面 $B C D$ 所成的最大角为 $45 °$ B、存在某个位置，使得 $P B ⊥ C D$ C、存在某个位置，使得 $B$ 到平面 $P D C$ 的距离为 $\sqrt{3}$ D、当二面角 $P - B D - C$ 的大小为 $90 °$ 时， $P C = \sqrt{6}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设 $z = \frac{2 i}{1 + i} (i$ 是虚数单位 $)$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 在 $R t Δ A B C$ 中， $A = 9 0^{∘}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ， $D$ 是边 $A B$ 上的一动点，沿 $C D$ 将 $△ A C D$ 翻折至 $△ A' C D$ ，使二面角 $A' - C D - B$ 为直二面角，且四面体 $A' B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上．当线段 $A' B$ 的长度最小时，球 $O$ 的表面积为．

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15. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $2 b c o s | C = 2 a - c .$ 若 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $\frac{16 π}{3}$ ，则三角形面积的取值范围是．

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16. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\vec{D B} = 2 \vec{A D}$ ， $C D = 1$ ， $(a - b) s i n A = (c + b) (s i n C - s i n B)$ ，则 $a + 2 b$ 的最大值为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知向量 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{6}$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，求 $k$ 的值 $；$

(2)、求 $| \vec{a} + 3 \vec{b} |$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = 1 - 2 c o s^{2} (x + \frac{π}{4}) - \sqrt{3} c o s 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的增区间；

(2)、方程 $f (x) = m$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有且只有一个解，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 某农场有一块等腰直角三角形的空地 $A B C$ ，其中斜边 $B C$ 的长度为 $400$ 米 $.$ 为迎接“五一”观光游，计划在边界 $B C$ 上选择一点 $P$ ，修建观赏小径 $P M$ ， $P N$ ，其中 $M$ ， $N$ 分别在边界 $A B$ ， $A C$ 上，小径 $P M$ ， $P N$ 与边界 $B C$ 的夹角都为 $6 0^{∘} .$ 区域 $P M B$ 和区域 $P N C$ 内种植郁金香，区域 $A M P N$ 内种植月季花．

(1)、探究：观赏小径 $P M$ 与 $P N$ 的长度之和是否为定值 $?$ 请说明理由．

(2)、为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径 $M N$ ，当点 $P$ 在何处时，三条小径 $P M$ ， $P N$ ， $M N$ 的长度之和最小 $?$
参考数据： $s i n 7 5^{∘} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ ．

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20. 如图，直三棱柱 $A B C — A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为棱 $A C$ 和 $A_{1} B_{1}$ 的中点，且 $A B = B C$ ．

(1)、求证：平面 $B M N ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求证： $M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ．

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21. 在 $① a + a c o s C = \sqrt{3} c s i n A$ ， $② (a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ， $③ (a - b) s i n (B + C) + b s i n B = c s i n$ C.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．

(1)、求角 $C$ 的值 $；$

(2)、若角 $C$ 的平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $2 a + b$ 的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{x^{2} + 1}{x} ， x < 0 \\ 2^{x + 1} ， x ⩾ 0 \end{array}$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > \frac{17}{4}$ 的解集；

(2)、若 $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，且存在实数 $a$ ，使得 $g (b) + f (a) = 2$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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