人教A版（2019）必修二8.6空间直线、平面的垂直

试卷更新日期：2023-06-30 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 如图ＰＡ垂直于矩形ＡＢＣＤ所在的平面，则图中互相垂直的平面有（　　　　）

A、2对 B、3对 C、4对 D、5对

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2. “直线 $l$ 与平面 $α$ 内的无数条直线垂直”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直”的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既非充分条件又非必要条件

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3. 如图所示，在四面体 $D A B C$ 中，若 $A B = B C$ ， $A D = C D$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $平面 A B C ⊥ 平面 A B D$ B、 $平面 A B D ⊥ 平面 B D C$ C、 $平面 A B C ⊥ 平面 B D E$ ，且 $平面 A D C ⊥ 平面 B D E$ D、 $平面 A B C ⊥ 平面 A D C$ ，且 $平面 A D C ⊥ 平面 B D E$

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4. 已知三条直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 和三个平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，有如下 4 个命题：
① $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c \Rightarrow a ∥ b$ ；
② $a ⊥ γ$ ， $b ⊥ γ \Rightarrow a ∥ b$ ；
③ $α ⊥ c$ ， $β ⊥ c \Rightarrow α ∥ β$ ；
④ $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ \Rightarrow α ∥ β$ ．
其中正确的两个命题为是（）

A、①② B、③④ C、①④ D、②③

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5. 若 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $l$ ， $m$ 是两条不同的直线，且 $l \subset α$ ， $m \subset β$ （）

A、若 $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $l ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $α ∥ β$ ，则 $l ∥ m$

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6. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ∥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ∥ n$ C、若 $α \cap^{} β = m$ ， $n \subset α$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ∥ n$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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7. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，在平面 $A B_{1}$ 内任取一点 $M$ ，作 $M E ⊥ A B$ 于 $E$ ，则（）

A、 $M E ⊥ 平面 A C$ B、 $M E \subset 平面 A C$ C、 $M E ∥ 平面 A C$ D、以上都有可能

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E$ ， $F$ ，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $A C ⊥ B E$ B、 $E F ∥ 平面 A B C D$ C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 D、 $△ A E F$ 与 $△ B E F$ 的面积相等

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9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A B_{1}$ ， $B C_{1}$ 上，且 $A M = \frac{1}{3} A B_{1}$ ， $B N = \frac{1}{3} B C_{1}$ ，则下列结论：
① $A A_{1} ⊥ M N$ ；② $A_{1} C_{1} ∥ M N$ ；③ $M N ∥ 平面 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ；④ $B_{1} D_{1} ⊥ M N$ ．正确命题的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点， $G$ 是 $E F$ 的中点．现在沿 $A E$ ， $A F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个空间图形，使 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点重合，重合后的点记为 $H$ ．那么，在这个空间图形中必有（）

A、 $A G ⊥ 平面 E F H$ B、 $A H ⊥ 平面 E F H$ C、 $H F ⊥ 平面 A E F$ D、 $H G ⊥ 平面 A E F$

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点．现沿 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ 把这个正方形折成一个几何体，使 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点重合于点 $G$ ，则下列结论中成立的是（）

A、 $A G ⊥ 平面 E F G$ B、 $A H ⊥ 平面 E F G$ C、 $G F ⊥ 平面 A E F$ D、 $G H ⊥ 平面 A E F$

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12. 在所有棱长都相等的三棱锥 $P - A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的中点，下列四个命题：
（ $1$ ） $B C ∥ 平面 P D F$ ；
（ $2$ ） $D F ∥ 平面 P A E$ ；
（ $3$ ） $平面 P D F ⊥ 平面 A B C$ ；
（ $4$ ） $平面 P D F ⊥ 平面 P A E$ ．
其中正确命题的序号为（）

A、（2）（3） B、（1）（3） C、（2）（4） D、（1）（4）

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13. 已知 $l$ ， $m$ 是平面 $α$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
① $l ⊥ m$ ；
② $m ∥ α$ ；
③ $l ⊥ α$ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．

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14. 如图，空间四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，并且异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $9 0^{∘}$ ，则 $M N =$ ．

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15. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $A D$ 的中点， $∠ G E F = 12 0^{∘}$ ，则 $B D$ 与 $A C$ 所成角的度数为．

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16. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥ A B$ ， $A A_{1} ⊥ A C$ ．若 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A_{1} C$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成的角为．

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17.
如图， $△ A B C$ 中， $A C = B C = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ， $A B E D$ 是边长为 $1$ 的 $正方形面 A B E D ⊥ 平面 A B C$ 若 $G$ ， $F$ 分别是 $E C$ ， $B D$ 的中点．

(1)、求证： $G F ∥ 平面 A B C$ ；

(2)、求证： $B C ⊥ 面 A C D$ ；

(3)、求 $B D$ 和面 $A C D$ 所成角的大小．

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18. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 所在的平面与半圆弧 $\overset{�}{C D}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{�}{C D}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

(1)、证明： $平面 A M D ⊥ 平面 B M C$ ；

(2)、当三棱锥 $M - A B C$ 体积最大时，求面 $M A B$ 与面 $M C D$ 所成二面角的正弦值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、若 $E$ 为 $P B$ 的中点，证明： $A E ∥ 平面 P C D$ ；

(2)、求证： $A B ⊥ P C$ ；

(3)、若 $F$ 为 $P D$ 的中点，求二面角 $F - A C - D$ 的平面角的大小．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = A D = C D = 1$ ， $B C = 2$ ． $平面 P B D ⊥ 平面 A B C D$ ， $△ P B C$ 为等边三角形，点 $E$ 是棱 $B C$ 上的一动点．

(1)、求证： $C D ⊥ 平面 P B D$ ；

(2)、求直线 $P E$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值的最大值．

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