人教A版（2019）必修二7.3.1复数的三角表示式

试卷更新日期：2023-06-30 类型：单元试卷

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一、选择题（共11题）

1. 复数 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 的三角形式是（）

A、 $c o s (- \frac{π}{3}) + i s i n (- \frac{π}{3})$ B、 $c o s \frac{π}{3} + i s i n \frac{π}{3}$ C、 $c o s \frac{π}{3} - i s i n \frac{π}{3}$ D、 $c o s \frac{π}{3} + i s i n \frac{5 π}{6}$

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2. 已知复数 $z_{1} = c o s 2 3^{∘} + i s i n 2 3^{∘}$ 和复数 $z_{2} = c o s 3 7^{∘} + i s i n 3 7^{∘}$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

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3. 欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， $e^{2 i}$ 表示的复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 若 $z = \cos θ + i \sin θ$ ( $θ \in R ， i$ 是虚数单位)，则 $| z - 2 - 2 i |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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5. 已知 $i$ 为虚数单位， $z_{1} = \sqrt{2} (c o s 6 0^{∘} + i s i n 6 0^{∘})$ ， $z_{2} = 2 \sqrt{2} (s i n 3 0^{∘} - i c o s 3 0^{∘})$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $4 (c o s 9 0^{∘} + i s i n 9 0^{∘})$ B、 $4 (c o s 3 0^{∘} + i s i n 3 0^{∘})$ C、 $4 (c o s 3 0^{∘} - i s i n 3 0^{∘})$ D、 $4 (c o s 0^{∘} + i s i n 0^{∘})$

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6. 欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ， $e$ 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， $e^{2018 i}$ 表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. $4 (c o s π + i s i n π) \div 2 (c o s \frac{π}{3} + i s i n \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $1 + \sqrt{3} i$ B、 $1 - \sqrt{3} i$ C、 $- 1 + \sqrt{3} i$ D、 $- 1 - \sqrt{3} i$

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8. 将复数 $1 + \sqrt{3} i$ 对应的向量 $\vec{O N}$ 绕原点按顺时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ ，得到的向量为 $\vec{O N_{1}}$ ，那么 $\vec{O N_{1}}$ 对应的复数是（）

A、 $\sqrt{3} - i$ B、 $\sqrt{3} + i$ C、 $- \sqrt{3} - i$ D、 $- \sqrt{3} + i$

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9. 若复数 ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{n}$ 为实数，则正整数 $n$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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10. 欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， $e^{\frac{π}{6} i} + e^{\frac{π}{3} i}$ 表示的复数的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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11. 复数 $z = 1 - i$ （ $i$ 为虚数单位）的三角形式为（）

A、 $z = \sqrt{2} (s i n 4 5^{∘} - i c o s 4 5^{∘})$ B、 $z = \sqrt{2} (c o s 4 5^{∘} - i s i n 4 5^{∘})$ C、 $z = \sqrt{2} [c o s (- 4 5^{∘}) - i s i n (- 4 5^{∘})]$ D、 $z = \sqrt{2} [c o s (- 4 5^{∘}) + i s i n (- 4 5^{∘})]$

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二、填空题（共4题）

12. 复数 $z = - \sqrt{3} + i$ 化成三角形式为．

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13. 复数 $1 + i$ 的的辐角主值是，三角形式是．

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14. 设 $z = 1 - 2 i$ 对应的向量为 $\bar{O Z} ，$ 将 $\bar{O Z}$ 绕原点按顺时针方向旋转 $3 0^{∘}$ 所得向量对应的复数的虚部为．

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15. 若复数 $z = (s i n θ + c o s θ + 1) + (s i n θ - c o s θ) i$ 是纯虚数，则 $s i n^{2021} θ + c o s^{2021} θ =$ ．

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三、解答题（共3题）

16. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ ， $w = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$ ，复数 $\bar{z w}$ ， $z^{2} w^{3}$ 在复平面内所对应的点分别为 $P$ ， $Q$ ，求证： $△ O P Q$ 是等腰直角三角形（其中 $O$ 为原点）．

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17. 已知实数 $a > 0$ ，写出下列复数的辐角的主值．

(1)、 $a$ ；

(2)、 $a i$ ；

(3)、 $- a$ ；

(4)、 $- a i$ ．

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18. 设 $z$ 满足 $| \frac{z - 1}{z} | = \frac{1}{2}$ ， $a r g \frac{z - 1}{z} = \frac{π}{3}$ ，求 $z$ ．

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