人教A版（2019）必修二7.2复数的四则运算

试卷更新日期：2023-06-30 类型：单元试卷

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一、选择题（共13题）

1. ${(2 - i)}^{2} - (1 + 3 i) =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - 7 i$ C、 $4 - 7 i$ D、 $4 + i$

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2. $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{2 i}{1 + i} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 设 $2 (z + \bar{z}) + 3 (z - \bar{z}) = 4 + 6 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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4. 已知复数 $z_{1} = 2 t + i$ ， $z_{2} = 1 - 2 i$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，则实数 $t$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $1$

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5. 在复平面内，复数 $z$ 满足 $(1 - i) \cdot z = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1$ B、 $i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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6. $\frac{1 + 2 i}{1 - 2 i} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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7. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）

A、 ${(1 + i)}^{2}$ B、 $i^{2} (1 - i)$ C、 $i {(1 + i)}^{2}$ D、 $i (1 + i)$

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8. 复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ 的共轭复数是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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9. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $(2 ， - 1)$ ， $(0 ， - 1)$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} + | z_{2} | =$ （）

A、 $2 + 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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10. 设 $i$ 是虚数单位，复数 $z = 1 + i$ ，则 $\bar{z} \cdot i$ 等于（）

A、 $1 - i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 + i$

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11. 设 $a$ ， $b$ 为实数，若复数 $1 + 2 i = (a - b) + (a + b) i$ ，则（）

A、 $a = \frac{3}{2}$ ， $b = \frac{1}{2}$ B、 $a = 3$ ， $b = 1$ C、 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = \frac{3}{2}$ D、 $a = 1$ ， $b = 3$

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12. 已知复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 2$ ，且 ${(z - a)}^{2} = a$ ，则实数 $a$ 不可能取值（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ C、 $1$ D、 $4$

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13. $4 (c o s 6 0^{∘} + i s i n 6 0^{∘}) \times 3 (c o s 15 0^{∘} + i s i n 15 0^{∘}) =$ （）

A、 $6 \sqrt{3} + 6 i$ B、 $6 \sqrt{3} - 6 i$ C、 $- 6 \sqrt{3} + 6 i$ D、 $- 6 \sqrt{3} - 6 i$

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二、填空题（共4题）

14. 若复数 $z$ 满足 $z - 1 = c o s θ + i s i n θ$ ，则 $| z |$ 的最小值为， $| z |$ 的最大值为．

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15. 若复数 $\frac{a + 6 i}{3 - i}$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位）是纯虚数，则实数 $a$ 的值为．

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16. 复数 $z = (1 + 2 i) (3 - i)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的实部是．

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17. $i$ 是虚数单位， ${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{2018} + {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{6} =$ ．

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三、解答题（共4题）

18. 设 $m \in R$ ，复数 $z_{1} = \frac{m^{2} + m}{m + 2} + (m - 15) i$ ， $z_{2} = - 2 + m (m - 3) i$ ，若 $z_{1} + z_{2}$ 是虚数，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{2} = 2 + 2 i$ ．

(1)、求 $z_{1} \cdot z_{2}$ ．

(2)、若 $\frac{1}{z} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ ，求 $z$ ．

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20. 复数 $z_{1} = a + 5 + (10 - a^{2}) i ， z_{2} = 1 - 2 a + (2 a - 5) i$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $z_{1}$ 的模；

(2)、若 $\bar{z_{1}} + z_{2}$ 是实数，求实数 $a$ 的值．

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21. 已知复数 $z_{1} = - 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ， $z_{3} = 3 - 2 i$ 在复平面内对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ．若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，求 $x + y$ 的值．

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