人教A版（2019）必修二6.3.5平面向量数量积的坐标表

试卷更新日期：2023-06-30 类型：单元试卷

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一、选择题（共10题）

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (x ， 4)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 等于（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (λ ， 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 4) \cup^{} (4 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $10$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， n)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， n)$ ，若 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $| \vec{a} |$ 等于（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $4$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $m =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $- 8$ D、 $8$

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6. 已知圆 $O$ 上有三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $A B = 2$ 且 $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $A D$ 延长线与圆 $O$ 交于点 $E$ ，如图， $\vec{A E} \cdot \vec{A B} = \frac{18}{5}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{8}{5}$ C、 $- \frac{8}{5}$ 或 $- 1$ D、 $- \frac{8}{5}$ 或 $1$

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7. 已知向量 $\vec{m} = (λ + 1 ， 1)$ ， $\vec{n} = (λ + 2 ， 2)$ ，若 $(\vec{m} + \vec{n}) ⊥ (\vec{m} - \vec{n})$ ，则 $λ$ 等于（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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8. 宽与长的比为心， $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形 $A B C D$ 中， $B C = \sqrt{5} - 1$ ， $A B > B C$ ，那么 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $4$ D、 $2 \sqrt{5} + 2$

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9. 在矩形 $A B C D$ 中，边 $A B$ ， $A D$ 的长分别为 $2$ ， $1$ ，若 $M$ ， $N$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且满足 $\frac{∣ \vec{B M} ∣}{∣ \vec{B C} ∣} = \frac{∣ \vec{C N} ∣}{∣ \vec{C D} ∣}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 4)$ B、 $[1 ， 4]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(1 ， 4]$

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10. 已知 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m)$ ，记 $\vec{c} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、填空题（共5题）

11. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的方向上的投影为．

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12. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，则 $\vec{| P D |} =$ ； $\vec{P B} \cdot \vec{P D} =$ ．

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13. 设向量 $\vec{a}$ =（x，x+1）， $\vec{b}$ =（1，2），且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则x= ．

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14. 正方形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{3}$ ， $\vec{B C} = \sqrt{3} \vec{B E}$ ， $\vec{D C} = \sqrt{3} \vec{D F}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} =$ ．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， - 2)$ 与向量 $\vec{b} = (- 3 ， 5)$ 的夹角为钝角，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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三、解答题（共3题）

16. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， k)$ ， $\vec{b} = (0 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (1 ， \sqrt{3})$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k = 1$ 时， $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求 $λ$ 的值；

(3)、若 $∣ \vec{m} ∣ = \sqrt{3} ∣ \vec{b} ∣$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $15 0^{∘}$ ，求 $∣ \vec{m} + 2 \vec{c} ∣$ ．

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17. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 4)$ ．

(1)、求 $∣ \vec{a} - \vec{b} ∣$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 夹角的余弦值．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ．

(1)、若 $| \vec{c} | = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，求实数 $m$ 的值．

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