人教A版（2019）必修二7.2.2复数的乘、除运算

试卷更新日期：2023-06-30 类型：单元试卷

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一、选择题（共12题）

1. 复数 ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{4}$ 的值等于（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1$ D、 $- 1$

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2. 设复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 3 - 2 i$ ，则 $z_{1} z_{2}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $1$ C、 $5$ D、 $- 5 i$

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3. 计算 ${(\sqrt{3} - i)}^{6}$ 的值等于（）

A、 $64$ B、 $- 64$ C、 $6 \sqrt{6} - 6 i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

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4. 已知复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 2$ ，且 ${(z - a)}^{2} = a$ ，则实数 $a$ 不可能取值（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ C、 $1$ D、 $4$

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5. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{∣ z ∣}{z} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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6. 已知 $b$ 为实数，并且 $\frac{1 + i}{2 + b i} + \frac{1}{2}$ 的实部与虚部系数相等，则 $b$ 的值是（）

A、 $b = 2$ B、 $b = - 2$ C、 $b = \pm 2$ D、 $b = 0$

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7. 在复平面内，表示复数 $z = i (- 2 + i)$ 的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）

A、 ${(1 + i)}^{2}$ B、 $i^{2} (1 - i)$ C、 $i {(1 + i)}^{2}$ D、 $i (1 + i)$

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9. 设复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 3 - 2 i$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $1$ C、 $5$ D、 $- 5 i$

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10. 若复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z}}{1 - i} = i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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11. $2 \div 2 (c o s 6 0^{∘} + i s i n 6 0^{∘}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

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12. 设有下面四个命题
      $p_{1}$ ：若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ ；

      $p_{2}$ ：若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ ；

      $p_{3}$ ：若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} ， z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ；

      $p_{4}$ ：若复数 $z \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$ ．

其中的真命题为（  ）

A、 $p_{1}$ ， $p_{3}$ B、 $p_{1}$ ， $p_{4}$ C、 $p_{2}$ ， $p_{3}$ D、 $p_{2}$ ， $p_{4}$

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二、填空题（共5题）

13. $i$ 是虚数单位，则 ${(1 + i)}^{2}$ 的模等于．

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14. 复数 $z$ 满足 $2 z - 1 = 1 + 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ .

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15. 已知复数 $(a + 3 i) (1 + 2 i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为．

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16. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 7 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ ．

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17. 设 $f (n) = {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{n} + {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{n} (n \in N^{*})$ ，则集合 ${f (n)}$ 中元素的个数为．

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三、解答题（共3题）

18. 已知复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 的虚部为 $2$ ．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、当复数 $z$ 的虚部大于零，设复数 $z$ ， $z^{2}$ ， $z - z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，求 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{O C}$ 的值．

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19. 用复数乘法公式验证：若 $c + d i \neq 0$ ，则 $(c + d i) (\frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i) = a + b i$ ．

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20. 分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如 $w = f (z) = \frac{a z + b}{c z + d} (a d - b c \neq 0)$ 的变换，其中 $w$ 称为 $z$ 的“像”， $z$ 称为 $w$ 的“原像”．

(1)、若 $a = b = c = - d = 1$ ，求 $i$ 的“像”以及 $1 + i$ “原像”；

(2)、若 $a = b = i$ ， $c = - d = - 1$ ，求证： $I m w > 0$ 的充要条件是 $z < 1$ ；

(3)、若 $a = c = 1$ ， $b = - d = - i$ ， $z$ 满足 $0 < I m z < 1$ ，求 $z$ 的“像”在复平面上所构成图形的面积．

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