浙江省丽水市2022-2023学年高二上册期末考试数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知过点 $A (1 ， a)$ ， $B (2 ， - \sqrt{3})$ 的直线的倾斜角为60°，则实数a的值为（）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 7$ ， $a_{10} = 22$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、65 B、75 C、80 D、85

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3. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，AC，BD相交于 $O$ ， $M$ 为 $O C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C M} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 若圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 m x + m^{2} - m = 0$ 外切，则实数 $m =$ （）

A、－1 B、1 C、1或4 D、4

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5. 已知直线 $a$ ， $b$ 与平面 $α$ ， $β$ ，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $l ⊥ a$ ， $l ⊥ b$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、若 $a / / α$ ， $b / / β$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$ D、若直线 $a$ 上存在两点到平面 $α$ 的距离相等，则 $a / / α$

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6. 已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆 $O_{2}$ 、圆 $O_{1}$ 上的点，若 $A B = 2$ ，则异面直线 $O_{1} B$ ， $O_{2} A$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 设 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = 2 l n (s i n \frac{1}{6} + c o s \frac{1}{6})$ ， $c = \frac{1}{2} l n 2$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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8. 在四面体PABC中， $P A ⊥ P B$ ， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，若二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $120 °$ ，则四面体 $P A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{13 π}{9}$ B、 $\frac{26 π}{9}$ C、 $\frac{52 π}{9}$ D、 $\frac{104 π}{9}$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 下列求导数的运算正确的是（）

A、 ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{^{'}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $(l n 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x e^{x})}^{^{'}} = (x + 1) e^{x}$ D、 ${(s i n \frac{x}{3})}^{^{'}} = c o s \frac{x}{3}$

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10. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，公比为 $q$ ，已知 $a_{1} a_{5} = 4$ ， $a_{2} + a_{4} = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、若 ${a_{n}}$ 为递增数列，则 $S_{n} + \frac{1}{2} = a_{n + 1}$ C、 $a_{3} = 2$ D、若 ${a_{n}}$ 为递减数列，当且仅当 $n = 3$ 时， $T_{n}$ 取得最大值

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 分别是棱BC， $C C_{1}$ 的中点，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = t \vec{B A}$ ， $t \in [0 ， 1]$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $t = 1$ ，则 $A_{1} B_{1} / /$ 平面MPQ B、若 $t = 1$ ，则过点 $M$ ， $P$ ， $Q$ 的截面面积是 $\frac{9}{2}$ C、若 $t = \frac{1}{2}$ ，则点 $A_{1}$ 到平面MPQ的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、若 $t = \frac{1}{2}$ ，则AB与平面MPQ所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， m)$ $(m \neq 0)$ ，过点 $B$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，AP，AQ分别交抛物线 $C$ 于 $M$ ， N两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、焦点坐标为 $(2 ， 0)$ B、向量 $\vec{O P}$ 与 $\vec{O M}$ 的数量积为5 C、直线MN的斜率为 $m$ D、若直线PQ过焦点 $F$ ，则OF平分 $∠ P A Q$

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三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13. 已知点 $A (0 ， 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 3 ， 2)$ ，向量 $\vec{A C} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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14. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (4 ， 0)$ ，点 $P$ 在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ 上运动，则线段AP的中点 $Q$ 的轨迹方程是．

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15. 若曲线 $y = l n x + a x$ 在 $x = 1$ 处的切线经过点 $P (2 ， 0)$ ，则实数 $a =$ ．

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16. 一个圆锥母线与底面所成的角为 $3 0^{∘}$ ，体积为 $8 π$ ，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为．

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17. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第 $n$ 年年初的存栏数为 $c_{n}$ ，则 $c_{10} =$ ．（ $1 . 1^{8} \approx 2.14$ ， $1 . 1^{9} \approx 2.36$ ， $1 . 1^{10} \approx 2.59$ ）

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ ， $Q$ 在椭圆 $C$ 上， $O$ 为坐标原点，且 $\vec{P F} = 4 \vec{F Q}$ ， $| O P | = | O F |$ ，则椭圆的离心率是．

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四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + a (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 2)$ 和 $B (5 ， - 2)$ ，且圆 $C$ 关于直线 $2 x + y = 0$ 对称．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $D (- 3 ， 1)$ 作直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程．

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21. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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22. 如图，在四边形ABCD中（如图1）， $∠ B A C = ∠ B C D = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = C D$ ， $E$ ， F分别是边BD，CD上的点，将 $△ A B C$ 沿BC翻折，将 $△ D E F$ 沿EF翻折，使得点 $D$ 与点 $A$ 重合（记为点 $P$ ），且平面 $P B C ⊥$ 平面BCFE（如图2）

(1)、求证： $C F ⊥ P B$ ；

(2)、求二面角 $P - E F - B$ 的余弦值．

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23. 已知双曲线 $M ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，在双曲线 $M$ 的右支上存在不同于点 $A (2 ， 3)$ 的两点 $P$ ， $Q$ ，记直线 $A P ， A Q ， P Q$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k$ ，且 $k_{1}$ ， $k$ ， $k_{2}$ 成等差数列．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $△ O P Q$ 的面积为 $\sqrt{6}$ （ $O$ 为坐标原点），求直线 $P Q$ 的方程．

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