浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2022-2023学年高三下册6月适应性考试数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | l n (x + 1) < 1} ， B = {y | y = e^{x} ， x \in R}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， e - 1)$ B、 $(0 ， e - 1)$ C、 $(1 ， e)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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2. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ ，求复数 $z^{3} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $i$ D、 $- 1$

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3. 设 $a = 2 l n 1.4 ， b = \sqrt{1.6} - 1 ， c = l n 1.6$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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4. 将正整数20分解成两个正整数的乘积有 $1 \times 20$ ， $2 \times 10$ ， $4 \times 5$ 三种，其中 $4 \times 5$ 是这三种分解中两数差的绝对值最小的.我们称 $4 \times 5$ 为20的最佳分解.当 $p \times q$ （ $p \leq q$ 且 $p ， q \in N_{+}$ ）是正整数n的最佳分解时，定义函数 $f (n) = q - p$ ，则数列 ${f (3^{n})} (n \in N_{+})$ 的前100项和 $S_{100}$ 为（）

A、 $3^{50} + 1$ B、 $3^{50} - 1$ C、 $\frac{3^{50} - 1}{2}$ D、 $\frac{3^{50} + 1}{2}$

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5. 为调查中某校学生每天学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生400人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生600人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生1000人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）

A、1.25 B、1.35 C、1.45 D、1.55

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6. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面 $A B C D$ 为正方形， $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B F E ， C D E F$ 为两个全等的等腰梯形， $E F = \frac{1}{2} A B$ ，且 $2 A E + E F = 8$ ，则此刍甍体积的最大值为（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、 $\frac{40}{3}$ C、 $\frac{80}{3}$ D、 $\frac{100}{3}$

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7. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1 ， x \geq a \\ - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 5 ， x < a \end{array}$ ，其中 $a \leq - 2$ ，则满足 $f (x) + f (x - 1) < 5$ 的 $x$ 取值范围是（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(0 ， + ∞)$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $g (x)$ ，则下列错误的是（）

A、若 $g (x)$ 关于 $(a ， 0)$ 中心对称，则 $f (x)$ 关于 $x = a$ 对称 B、若 $g (x)$ 关于 $x = a$ 对称，则 $f (x)$ 有对称中心 C、若 $f (x)$ 有1个对称中心和1条与 $x$ 轴垂直的不过对称中心的对称轴，则 $f (x)$ 为周期函数 D、若 $f (x)$ 有两个不同的对称中心，则 $g (f (x))$ 为周期函数

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错得0分.

9. 某市800名高二学生参加数学竞赛，随机抽取80名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）

A、频率分布直方图中 $a$ 的值为0.03 B、估计这80名学生成绩的中位数为75 C、估计这80名学生成绩的众数为75 D、估计总体中成绩落在 $[80 ， 90)$ 内的学生人数为200人

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10. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x - \frac{1}{2} c o s 2 ω x ， ω > 0 ，$ 则下列结论正确的是（）

A、 $\forall ω \in (0 ， 1) ， f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增； B、若 $ω = 1$ 且 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 ，$ 则 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = π$ ； C、若 $| f (x) | = 1$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有2个不同的解，则 $ω$ 的取值范围为 $ω \in [\frac{5}{6} ， \frac{7}{3})$ ； D、存在 $ω \in (0 ， 1)$ ，使得 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 为奇函数.

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11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别 $F_{1} 、 F_{2}$ ，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为 $P$ ，双曲线和椭圆的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2} ， △ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $I$ ，过 $F_{2}$ 作直线 $P I$ 的垂线，垂足为 $D$ ，则（）

A、 $I$ 到 $y$ 轴的距离为 $a$ B、点 $D$ 的轨迹是双曲线 C、若 $| O P | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = 5$ D、若 $S_{△ I P F_{1}} - S_{△ I P F_{2}} \geq \frac{1}{2} S_{△ I F_{1} F_{2}}$ ，则 $1 < e_{1} \leq 2$

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12. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，对棱 $A B ， C D$ 所成角为 $70 °$ ，平面 $A B C$ 和平面 $B C D$ 的夹角为 $60 °$ ，直线 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $20 °$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 和平面 $B C D$ 外一定点，则下列结论正确的是（）

A、过点 $P$ 且与直线 $A B ， C D$ 所成角都是 $40 °$ 的直线有2条 B、过点 $P$ 且与平面 $A B C$ 和平面 $B C D$ 所成角都是 $30 °$ 的直线有3条 C、过点 $P$ 且与平面 $A B C$ 和平面 $B C D$ 所成角都是 $40 °$ 的直线有3条 D、过点 $P$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $60 °$ ，且与直线 $A B$ 成 $60 °$ 的直线有2条

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知随机变量 $X ∼ N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (x \leq a) = P (x \geq 3)$ ，若 ${(a x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{3}$ 的展开式中各项系数之和．

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14. 已知 $\frac{1}{2 + s i n α} + \frac{1}{3 + 2 s i n 2 β} + \frac{1}{4 + 3 s i n 3 γ} = 3$ ，其中 $α ， β ， γ \in R$ ，则 $| α + β + γ |$ 的最小值为．

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15. 若曲线 $C ： f (x) = (x^{2} - 4 x + 5) e^{x} - 2 e$ 有三条经过点 $A (a ， 0)$ 的切线，则 $a$ 的范围为．

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 30 ， A D = 5 ， A A_{1} = 12$ ，过 $A B$ 且与直线 $C D$ 平行的平面 $α$ 将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 $α$ 变化的过程中，当两个球的半径之和达到最大时，此时较小球的表面积为．

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四、解答题：本题共6小题，共70.0分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ 且 $b c o s C + c s i n B = a ， \frac{a + 2 b}{s i n A + 2 s i n B} = 6 \sqrt{2}$ ，

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $A C$ 边上中线长的取值范围．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} ， n \in N^{*} ， a_{1} = 5$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2 a_{n}}{a_{n}^{2} - 1} ， S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证 $S_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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19. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{2} ， B C = 1 ， A B ⊥ B C$ ，直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求三棱锥体积的取值范围；

(2)、当直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角最小时，求二面角 $P - A B - C$ 的平面角的余弦值.

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20. 为了解中学生的阅读情况，现随机抽取了某重点中学100人，调查他们是否喜爱阅读，统计人数如下表：

喜爱阅读
不喜爱阅读
共计
女生
45
50
男生
15
共计

(1)、根据 $2 \times 2$ 列联表中数据判断是否有 $97.5 %$ 的把握认为“喜爱阅读与性别有关”？

(2)、现进行一项阅读答题测试，测试规则：若该同学连续三次答对，则测试通过，答题结束；若出现连续两次答错，则未通过测试，答题结束.其余情况下可以一直答题，直至出现前面两种情况.已知该同学每次答对的概率为 $\frac{3}{5}$ ，求该同学通过测试的概率.
参考附表：

          $P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.025
0.010
          $k$
3.841
5.024
6.635
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，下顶点为 $A ， P$ 是椭圆上任意一点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线与直线 $l ： x + y = - 2$ 交于 $M$ 点，若点 $P$ 关于点 $M$ 的对称点为 $N$ ，直线 $A N$ 交椭圆于 $A ， Q$ 两点.

(1)、求椭圆 $E$ 上点到直线 $l$ 的距离的最大值；

(2)、已知 $B (1 ， - 1)$ ．过点 $B$ 作 $B H$ 垂直直线 $P Q$ ，垂足为 $H$ ，是否存在定点 $T$ ，使得 $| T H |$ 为定值，若存在求出定点 $T$ 坐标和 $| T H |$ ，若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 3}$ ， $g (x) = - x^{2} + 7 x - 11$ ．

(1)、试求 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的公切线方程.

(2)、设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若不等式 $e^{x - a} + x^{2} + (2 b - 9) x + (b^{2} - 9 b + 19) \geq 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求 $a^{2} + 3 a b + b^{2}$ 的最大值．

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	喜爱阅读	不喜爱阅读	共计
女生	45		50
男生		15
共计

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.025	0.010
$k$	3.841	5.024	6.635