四川省内江市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -2的绝对值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（）

A、 $6.7 × 1 0^{5}$ B、 $6.7 × 1 0^{6}$ C、 $0.67 \times 1 0^{7}$ D、 $67 \times 1 0^{8}$

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3. 如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（　　）

A、3a+4b＝7ab B、x¹²÷x⁶＝x⁶ C、（a+2）²＝a²+4 D、（ab³）³＝ab⁶

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5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $y = \sqrt{x - 1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛.7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A、95，92 B、93，93 C、93，92 D、95，93

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8. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，点P在 $\overset{⌢}{A F}$ 上，Q是 $\overset{⌢}{D E}$ 的中点，则 $∠ C P Q$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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9. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　）

A、 $\frac{2640}{2 x} = \frac{2640}{x} + 2$ B、 $\frac{2640}{2 x} = \frac{2640}{x} - 2$ C、 $\frac{2640}{2 x} = \frac{2640}{x} + 2 \times 60$ D、 $\frac{2640}{2 x} = \frac{2640}{x} - 2 \times 60$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E为边 $A B$ 的三等分点，点F、G在边 $B C$ 上， $A C ∥ D G ∥ E F$ ，点H为 $A F$ 与 $D G$ 的交点．若 $A C = 12$ ，则 $D H$ 的长为（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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11. 对于实数a，b定义运算“⊗”为 $a \otimes b = b^{2} - a b$ ，例如 $3 \otimes 2 = 2^{2} - 3 \times 2 = - 2$ ，则关于x的方程 $(k - 3)$ $\otimes x = k - 1$ 的根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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12. 对于正数x，规定 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ，例如： $f (2) = \frac{2 \times 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{3}$ ， $f (3) = \frac{2 \times 3}{3 + 1} = \frac{3}{2}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{2}$ ，计算： $f (\frac{1}{101}) + f (\frac{1}{100}) + f (\frac{1}{99}) + ⋯ + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (1) +$ $f (2) + f (3) + ⋯ + f (99) + f (100) + f (101) =$ （　　）

A、199 B、200 C、201 D、202

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二、填空题

13. 分解因式：x³﹣xy²= ．

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14. 若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 $2 a + 2 b - c =$ ．

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15. 如图，用圆心角为 $120 °$ 半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是.

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16. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 12$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，点E为 $B C$ 边上的一个动点， $E F ⊥ A C$ ， $E G ⊥ B D$ ，垂足分别为点F，G，则 $E F + E G =$ ．

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三、解答题

17. 计算： $(- 1)^{2023} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + 3 t a n 30 ° - (3 - π)^{0} + | \sqrt{3} - 2 |$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = B D$ ；

(2)、连接 $B F$ ，若 $A B = A C$ ，求证：四边形 $A D B F$ 是矩形．

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19. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

(1)、此次调查一共随机抽取了名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

(2)、扇形统计图中圆心角 $α =$ 度；

(3)、现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

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20. 某中学依山而建，校门A处有一坡角 $α = 30 °$ 的斜坡 $A B$ ，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼 $C F$ 的楼顶C的仰角 $∠ C B F = 45 °$ ，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角 $∠ C E F = 60 °$ ， $C F$ 的延长线交水平线 $A M$ 于点D，求 $D C$ 的长（结果保留根号）．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = m x + n$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限内交于 $A (a ， 4)$ 和 $B (4 ， 2)$ 两点，直线 $A B$ 与x轴相交于点C，连接 $O A$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、当 $x > 0$ 时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式 $m x + n ≥ \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、过点B作 $B D$ 平行于x轴，交 $O A$ 于点D，求梯形 $O C B D$ 的面积．

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四、填空题

22. 已知a、b是方程 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 的两根，则 $a^{2} + 4 a + b - 3 =$ ．

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23. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 的对边分别为a、b、c，且满足 $a^{2} + | c - 10 | + \sqrt{b - 8} = 12 a - 36$ ，则 $s i n B$ 的值为．

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $△ B P C$ 是等边三角形，则阴影部分的面积为．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $M N$ 垂直于x轴，以 $M N$ 为对称轴作 $△ O D E$ 的轴对称图形，对称轴 $M N$ 与线段 $D E$ 相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为 $O E$ 的中点，且 $S_{△ E A F} = \frac{1}{4}$ ，则k的值为．

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五、解答题

26. 如图，以线段 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交射线 $A C$ 于点C， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $⊙ O$ 于点D，过点D作直线 $D E ⊥ A C$ ，交 $A C$ 的延长线于点E，交 $A B$ 的延长线于点F．连接 $B D$ 并延长交 $A C$ 的延长线于点M．

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $∠ F = 30 °$ 时，判断 $△ A B M$ 的形状，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下， $M E = 1$ ，连接 $B C$ 交 $A D$ 于点P，求 $A P$ 的长．

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27. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类
进价（元千克）
售价（元）千克）
甲
a
20
乙
b
23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．

(1)、求a，b的值；

(2)、该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价 $3 m$ 元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（ $利润率 = \frac{利润}{本金}$ ）不低于 $16 %$ ，求m的最大值．

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28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $B (4 ， 0)$ ， $C (- 2 ， 0)$ 两点．与y轴交于点 $A (0 ， - 2)$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若点P是直线 $A B$ 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 $A B$ 于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与 $\frac{1}{2} P K + P D$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 $△ M A B$ 是以 $A B$ 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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水果种类	进价（元千克）	售价（元）千克）
甲	a	20
乙	b	23