四川省广元市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列计算正确的是(　　)

A、 $2 a b - 2 a = b$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $3 a^{2} b \div a = 3 a$ D、 $(a + 2) (2 - a) = 4 - a^{2}$

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3. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：

每周课外阅读时间（小时）	$2$	$4$	$6$	$8$
学生数（人）	$2$	$3$	$4$	$1$

下列说法错误的是（　　）

A、众数是

1

B、平均数是

4.8

C、样本容量是

10

D、中位数是

5

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5. 关于x的一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + \frac{3}{2} = 0$ 根的情况，下列说法中正确的是（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，D在 $⊙ O$ 上，连接 $C D ， O D ， A C$ ，若 $∠ B O D = 124 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数是（　　）

A、 $56 °$ B、 $33 °$ C、 $28 °$ D、 $23 °$

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7. 如图，半径为 $5$ 的扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ，若 $C D = C E$ ，则图中阴影部分面积为(　　)

A、 $\frac{25 π}{16}$ B、 $\frac{25 π}{8}$ C、 $\frac{25 π}{6}$ D、 $\frac{25 π}{4}$

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8. 向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深y与注水量x的函数关系的大致图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高 $40 %$ ，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　）

A、 $\frac{10}{x} - \frac{7}{(1 + 40 %) x} = \frac{10}{60}$ B、 $\frac{10}{x} - \frac{7}{(1 + 40 %) x} = 10$ C、 $\frac{7}{(1 + 40 %) x} - \frac{10}{x} = \frac{10}{60}$ D、 $\frac{7}{(1 + 40 %) x} - \frac{10}{x} = 10$

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数且 $a < 0$ ）过 $(- 1 ， 0)$ 和 $(m ， 0)$ 两点，且 $3 < m < 4$ ，下列四个结论： $① a b c > 0$ ； $② 3 a + c > 0$ ； $③$ 若抛物线过点 $(1 ， 4)$ ，则 $- 1 < a < - \frac{2}{3}$ ； $④$ 关于 $x$ 的方程 $a (x + 1) (x - m) = 3$ 有实数根，则其中正确的结论有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 若 $\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ 有意义，则实数x的取值范围是

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12. 广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为．

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13. 如图， $a ∥ b$ ，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线 $E F$ ，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若 $∠ C D A = 34 °$ ，则 $∠ C A B$ 的度数为．

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14. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 0)$ ，点 $B (0 ， - 3)$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴上，且点 $C$ 在点 $A$ 右方，连接 $A B$ ， $B C$ ，若 $t a n ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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16. 如图， $∠ A C B = 45 °$ ，半径为2的 $⊙ O$ 与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设 $t = P E + \sqrt{2} P F$ ，则t的取值范围是．

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三、解答题

17. 计算： $\frac{\sqrt{18}}{3} + | \sqrt{2} - 2 | + 202 3^{0} - {(- 1)}^{1}$ ．

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18. 先化简，再求值： $(\frac{3 x + y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{2 x}{y^{2} - x^{2}}) \div \frac{2}{x^{2} y - x y^{2}}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3}$ ．

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19. 如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边 $B C$ 上的高 $A D$ 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．

(1)、画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；

(2)、根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．

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20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：

(1)、求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；

(2)、若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；

(3)、若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率．

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21. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为 $120 °$ ，当其中一片风叶 $O B$ 与塔干 $O D$ 叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角 $∠ O E D = 45 °$ ，风叶 $O A$ 的视角 $∠ O E A = 30 °$ ．

(1)、已知α，β两角和的余弦公式为： $c o s (α + β) = c o s α c o s β - s i n α s i n β$ ，请利用公式计算 $c o s 75 °$ ；

(2)、求风叶 $O A$ 的长度．

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22. 某移动公司推出A，B两种电话计费方式．

计费方式	月使用费/元	主叫限定时间/min	主叫超时费/（元/min）	被叫
A	$78$	$200$	$0.25$	免费
B	$108$	$500$	$0.19$	免费

(1)、设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；

(2)、若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；

(3)、请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．

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23. 如图，已知一次函数 $y = k x + 6$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象交于 $A (3 ， 4)$ ， B两点，与x轴交于点C，将直线 $A B$ 沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．

(1)、求k，m的值及C点坐标；

(2)、连接 $A D$ ， $C D$ ，求 $△ A C D$ 的面积．

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，连接 $A C ， B C$ ，过点C作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 延长线于点D， $O F ⊥ B C$ 于点E，交 $C D$ 于点F．

(1)、求证： $∠ B C D = ∠ B O E$ ；

(2)、若 $s i n ∠ C A B = \frac{3}{5}$ ， $A B = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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25. 如图1，已知线段 $A B$ ， $A C$ ，线段 $A C$ 绕点 $A$ 在直线 $A B$ 上方旋转，连接 $B C$ ，以 $B C$ 为边在 $B C$ 上方作 $R t △ B D C$ ，且 $∠ D B C = 30 °$ ．

(1)、若 $∠ B D C = 90 °$ ，以 $A B$ 为边在 $A B$ 上方作 $R t △ B A E$ ，且 $∠ A E B = 90 °$ ， $∠ E B A = 30 °$ ，连接 $D E$ ，用等式表示线段 $A C$ 与 $D E$ 的数量关系是　　；

(2)、如图2，在(1)的条件下，若 $D E ⊥ A B$ ， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，求 $B C$ 的长；

(3)、如图3，若 $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，当 $A D$ 的值最大时，求此时 $t a n ∠ C B A$ 的值．

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26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 4$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知 $E$ 为抛物线上一点， $F$ 为抛物线对称轴 $l$ 上一点，以 $B$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 $∠ B F E = 90 °$ ，求出点 $F$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ， $P$ 为第一象限内抛物线上一点，连接 $A P$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，连接 $B P$ 并延长交 $y$ 轴于点 $N$ ，在点 $P$ 运动过程中， $O M + \frac{1}{2} O N$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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