山西省2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $(- 1) \times (- 3)$ 的结果为（）．

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- a^{3} b)}^{2} = - a^{6} b^{2}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$

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4. 山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长 $18.55 %$ ．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（）

A、 $1.464 \times 1 0^{8}$ 千瓦时 B、 $1464 \times 1 0^{8}$ 千瓦时 C、 $1.464 \times 1 0^{11}$ 千瓦时 D、 $1.464 \times 1 0^{12}$ 千瓦时

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， A C ， B D$ 为对角线， $B D$ 经过圆心 $O$ ．若 $∠ B A C = 40 °$ ，则 $∠ D B C$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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6. 一种弹簧秤最大能称不超过 $10 k g$ 的物体，不挂物体时弹簧的长为 $12 c m$ ，每挂重 $1 k g$ 物体，弹簧伸长 $0.5 c m$ ．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度 $y (c m)$ 与所挂物体的质量 $x (k g)$ 之间的函数关系式为（）

A、 $y = 12 - 0.5 x$ B、 $y = 12 + 0.5 x$ C、 $y = 10 + 0.5 x$ D、 $y = 0.5 x$

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7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 $O$ 的光线相交于点 $P$ ，点 $F$ 为焦点．若 $∠ 1 = 155 ° ， ∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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8. 已知 $A (- 2 ， a) ， B (- 1 ， b) ， C (3 ， c)$ 都在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，则a、b、c的关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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9. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 $A$ ，曲线终点为 $B$ ，过点 $A ， B$ 的两条切线相交于点 $C$ ，列车在从 $A$ 到 $B$ 行驶的过程中转角 $α$ 为 $60 °$ ．若圆曲线的半径 $O A = 1.5 k m$ ，则这段圆曲线 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）．

A、 $\frac{π}{4} k m$ B、 $\frac{π}{2} k m$ C、 $\frac{3 π}{4} k m$ D、 $\frac{3 π}{8} k m$

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10. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 $P ， Q ， M$ 均为正六边形的顶点．若点 $P ， Q$ 的坐标分别为 $(- 2 \sqrt{3} ， 3) ， (0 ， - 3)$ ，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(3 \sqrt{3} ， - 2)$ B、 $(3 \sqrt{3} ， 2)$ C、 $(2 ， - 3 \sqrt{3})$ D、 $(- 2 ， - 3 \sqrt{3})$

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二、填空题

11. 计算（ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ ）（ $\sqrt{2}$ ﹣ $\sqrt{3}$ ）的结果为 .

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12. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ．以点 $B$ 为圆心，以 $B A$ 的长为半径作弧交边 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ．分别以点 $A ， E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A E$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A E$ 于点 $O$ ，交边 $A D$ 于点 $F$ ，则 $\frac{O F}{O E}$ 的值为．

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14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 90 °$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $A B = A C = 5 ， B C = 6 ， ∠ A D B = 2 ∠ C B D$ ，则 $A D$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $| - 8 | \times {(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 3 + 5) \times 2^{- 1}$ ；

(2)、计算： $x (x + 2) + (x + 1)^{2} - 4 x$ ．

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17. 解方程： $\frac{1}{x - 1} + 1 = \frac{3}{2 x - 2}$ ．

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18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按

4 ∶ 4 ∶ 2

的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

选手	测试成绩/分			总评成绩/分
选手	采访	写作	摄影	总评成绩/分
小悦	83	72	80	78
小涵	86	84	▲	▲

(1)、在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分；

(2)、请你计算小涵的总评成绩；

(3)、学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．

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19. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

(1)、求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；

(2)、卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？

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20. 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算

B C

和

A B

的长度（结果精确到

0.1 m

．参考数据：

\sqrt{3} \approx 1.73

，

\sqrt{2} \approx 1.41

）。

课题	母亲河驳岸的调研与计算
调查方式	资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
	功能	驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
	驳岸剖面图		相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内， $A E$ 与 $C D$ 均与地面平行，岸墙 $A B ⊥ A E$ 于点A， $∠ B C D = 135 °$ ， $∠ E D C = 60 °$ ， $E D = 6 m$ ， $A E = 1.5 m$ ， $C D = 3.5 m$
	计算结果
交流展示

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21. 阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， F ， G ， H$ 分别是边 $A B ， B C ， C D$ ， $D A$ 的中点，顺次连接 $E ， F ， G ， H$ ，得到的四边形 $E F G H$ 是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 $E F G H$ 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁 $(V a r i n g n o n ， P i e r r e 1654 － 1722)$ 是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2，连接 $A C$ ，分别交 $E H ， F G$ 于点 $P ， Q$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ A C$ 于点 $M$ ，交 $H G$ 于点 $N$ ．

∵ $H ， G$ 分别为 $A D ， C D$ 的中点，∴ $H G ∥ A C ， H G = \frac{1}{2} A C$ ．（依据1）

∴ $\frac{D N}{N M} = \frac{D G}{G C}$ ． ∵ $D G = G C$ ， ∴ $D N = N M = \frac{1}{2} D M$ ．

∵四边形 $E F G H$ 是瓦里尼翁平行四边形，∴ $H E ∥ G F$ ，即 $H P ∥ G Q$ ．

∵ $H G ∥ A C$ ，即 $H G ∥ P Q$ ，

∴四边形 $H P Q G$ 是平行四边形．（依据2）∴ $S_{▱ H P Q G} = H G \cdot M N = \frac{1}{2} H G \cdot D M$ ．

∵ $S_{△ A D C} = \frac{1}{2} A C \cdot D M = H G \cdot D M$ ， ∴ $S_{▱ H P Q G} = \frac{1}{2} S_{△ A D C}$ ．同理，…

任务：

(1)、填空：材料中的依据1是指：．

依据2是指：．

(2)、请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形

A B C D

及它的瓦里尼翁平行四边形

E F G H

，使得四边形

E F G H

为矩形；（要求同时画出四边形

A B C D

的对角线）

(3)、在图1中，分别连接

A C ， B D

得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形

E F G H

的周长与对角线

A C ， B D

长度的关系，并证明你的结论．

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22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ ，其中 $∠ A C B = ∠ D E F = 90 ° ， ∠ A = ∠ D$ ．将 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ 按图2所示方式摆放，其中点 $B$ 与点 $F$ 重合（标记为点 $B$ ）．当 $∠ A B E = ∠ A$ 时，延长 $D E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ．试判断四边形 $B C G E$ 的形状，并说明理由．


(1)、数学思考：谈你解答老师提出的问题；

(2)、深入探究：老师将图2中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转，使点 $E$ 落在 $△ A B C$ 内部，并让同学们提出新的问题．


①“善思小组”提出问题：如图3，当 $∠ A B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A M ⊥ B E$ 交 $B E$ 的延长线于点 $M ， B M$ 与 $A C$ 交于点 $N$ ．试猜想线段 $A M$ 和 $B E$ 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；



②“智慧小组”提出问题：如图4，当 $∠ C B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A H ⊥ D E$ 于点 $H$ ，若 $B C = 9 ， A C = 12$ ，求 $A H$ 的长．请你思考此问题，直接写出结果．



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23. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + 4 x$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点 $B (1 ， 3)$ ，与 $y$ 轴交于点C．

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式及点C的坐标；

(2)、点 $P$ 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点 $P$ 作直线 $P E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，与直线 $A B$ 交于点D，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．
①当 $P D = \frac{1}{2} O C$ 时，求 $m$ 的值；

②当点 $P$ 在直线 $A B$ 上方时，连接 $O P$ ，过点 $B$ 作 $B Q ⊥ x$ 轴于点 $Q$ ， $B Q$ 与 $O P$ 交于点 $F$ ，连接 $D F$ ．设四边形 $F Q E D$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $m$ 的函数表达式，并求出S的最大值．

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