湖南省郴州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 2$ 的倒数是（　　）

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列图形中，能由图形 $a$ 通过平移得到的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（　　）

A、 $a^{4} \cdot a^{3} = a^{7}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $3 a^{2} - a^{2} = 2$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

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4. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列问题适合全面调查的是（　　）

A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B、了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况 C、了解郴江河的水质情况 D、神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查

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6. 一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 3 - x \geq 0 \\ x + 1 > 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为 $x$ km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　）

A、 $\frac{240}{0.5 x} - \frac{240}{x} = 1$ B、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5 x} = 1$ C、 $\frac{240}{1.5 x} - \frac{240}{x} = 1$ D、 $x + 1.5 x = 240$

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8. 第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午 $9 ： 00$ 开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离 $s$ 与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）

A、途中修车花了 $30 m i n$ B、修车之前的平均速度是 $500 m$ / $m i n$ C、车修好后的平均速度是 $80 m$ / $m i n$ D、车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的 $1.5$ 倍

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt[3]{27} =$ ．

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10. 在一次函数 $y = (k - 2) x + 3$ 中， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $k$ 的值可以是（任写一个符合条件的数即可）．

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11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．

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12. 抛物线 $y = x^{2} - 6 x + c$ 与 $x$ 轴只有一个交点，则 $c =$ ．

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13. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是分．

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14. 在 Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 $C D =$ .

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15. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 $P$ 处安装了一台监视器，它的监控角度是 $55 °$ ，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3 c m$ ， $∠ B = 60 °$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，若点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 恰好落在线段 $B C$ 上，则点 $C$ 的运动路径长是cm（结果用含 $π$ 的式子表示）．

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{3} t a n 30 ° + {(π - 2023)}^{0} + | - 2 |$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{x + 3}{x^{2} - 2 x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^{2} + 3 x} + \frac{1}{x}$ ，其中 $x = 1 + \sqrt{3}$ ．

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19. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．

(1)、请把图1中缺失的数据，图形补充完整；

(2)、请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；

(3)、若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(1)、尺规作图；作对角线 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ （保留作图痕迹）；

(2)、若直线 $M N$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，求证：四边形 $A F C E$ 是菱形

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21. 某次军事演习中，一艘船以 $40 k m / h$ 的速度向正东航行，在出发地 $A$ 测得小岛 $C$ 在它的北偏东 $60 °$ 方向， $2$ 小时后到达 $B$ 处，测得小岛 $C$ 在它的北偏西 $45 °$ 方向，求该船在航行过程中与小岛 $C$ 的最近距离（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．结果精确到 $0.1 k m$ ）．

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22. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．

(1)、求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

(2)、预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？

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23. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径，点 $C$ 是圆上一点．在 $A B$ 的延长线上取一点 $D$ ，连接 $C D$ ，使 $∠ B C D = ∠ A$ ．

(1)、求证：直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A C D = 120 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积（结果用含 $π$ 的式子表示）．

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24. 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘

A

（固定）中放置一个物体，在右边托盘

B

（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为

5 g

．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘

B

与点

C

的距离

x

（

c m

）（

0 < x \leq 60

），记录容器中加入的水的质量，得到下表：

托盘 $B$ 与点 $C$ 的距离 $x / c m$	30	25	20	15	10
容器与水的总质量 $y_{1} / g$	10	12	15	20	30
加入的水的质量 $y_{2} / g$	5	7	10	15	25

把上表中的 $x$ 与 $y_{1}$ 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数图象．

(1)、请在该平面直角坐标系中作出

y_{2}

关于

x

的函数图象；

(2)、观察函数图象，并结合表中的数据：

①猜测 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数关系，并求 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数表达式；

②求 $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数表达式；

③当 $0 < x \leq 60$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而（填“增大”或“减小”）， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而（填“增大”或“减小”）， $y_{2}$ 的图象可以由 $y_{1}$ 的图象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．

(3)、若在容器中加入的水的质量

y_{2}

（g）满足

19 ≤ y_{2} ≤ 45

，求托盘

B

与点

C

的距离

x

（cm）的取值范围．

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25. 已知 $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是射线 $A B$ 上的一个动点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $C E = A D$ ，连接 $D E$ 交射线 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在线段 $A B$ 上时，猜测线段 $C F$ 与 $B D$ 的数量关系并说明理由；

(2)、如图2，当点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上时，
①线段 $C F$ 与 $B D$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接 $A E$ ．设 $A B = 4$ ，若 $∠ A E B = ∠ D E B$ ，求四边形 $B D F C$ 的面积．

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26. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，点 $P$ 是抛物线的对称轴 $l$ 上的一个动点，当 $△ P A C$ 的周长最小时，求 $\frac{P A}{P C}$ 的值；

(3)、如图2，取线段 $O C$ 的中点 $D$ ，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使 $t a n ∠ Q D B = \frac{1}{2}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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