湖南省株洲市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-30 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 2的相反数是（）

A、2 B、－2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 计算： ${(3 a)}^{2} =$ （）

A、 $5 a$ B、 $3 a^{2}$ C、 $6 a^{2}$ D、 $9 a^{2}$

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3. 计算： $(- 4) × \frac{3}{2} =$ （）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 8$ D、8

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4. 从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 一技术人员用刻度尺（单位： $c m$ ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知 $∠ A C B = 90 °$ ，点D为边 $A B$ 的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 $C D =$ （）

A、 $3.5 c m$ B、 $3 c m$ C、 $4 c m$ D、 $6 c m$

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6. 下列哪个点在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图像上？（）

A、 $P_{1} (1 ， - 4)$ B、 $P_{2} (4 ， - 1)$ C、 $P_{3} (2 ， 4)$ D、 $P_{4} (2 \sqrt{2} ， \sqrt{2})$

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7. 将关于x的分式方程 $\frac{3}{2 x} = \frac{1}{x - 1}$ 去分母可得（）

A、 $3 x - 3 = 2 x$ B、 $3 x - 1 = 2 x$ C、 $3 x - 1 = x$ D、 $3 x - 3 = x$

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8. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B > A D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，下列说法正确的是（）

A、点O为矩形 $A B C D$ 的对称中心 B、点O为线段 $A B$ 的对称中心 C、直线 $B D$ 为矩形 $A B C D$ 的对称轴 D、直线 $A C$ 为线段 $B D$ 的对称轴

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9. 如图所示，直线l为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像的对称轴，则下列说法正确的是（）

A、b恒大于0 B、a，b同号 C、a，b异号 D、以上说法都不对

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10. 申报某个项目时，某7个区域提交的申报表数量的前5名的数据统计如图所示，则这7个区域提交该项目的申报表数量的中位数是（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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二、填空题

11. 计算： $3 a^{2} - 2 a^{2} =$ ．

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12. 因式分解 $x^{2} - 2 x + 1 =$ .

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13. 关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{2} x - 1 > 0$ 的解集为．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， $∠ B$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点E，则 $D E$ 的长为．

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15. 如图所示，点A、B、C是 $⊙ O$ 上不同的三点，点O在 $△ A B C$ 的内部，连接 $B O$ 、 $C O$ ，并延长线段 $B O$ 交线段 $A C$ 于点D．若 $∠ A = 60 ° ， ∠ O C D = 40 °$ ，则 $∠ O D C =$ 度．

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16. 血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时的压力．收缩压的正常范围是： $20 ~ 140 m m H g$ ，舒张压的正常范围是： $60 ~ 90 m m H g$ ．现五人A、B、C、D、E的血压测量值统计如下：

则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有个．

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17. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣 $= \frac{1}{2}$ 矩，1欘 $= 1 \frac{1}{2}$ 宣（其中，1矩 $= 90 °$ ），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若 $∠ A = 1$ 矩， $∠ B = 1$ 欘，则 $∠ C =$ 度．

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18. 已知实数m、 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足： $(m x_{1} - 2) (m x_{2} - 2) = 4$ ．
①若 $m = \frac{1}{3} ， x_{1} = 9$ ，则 $x_{2} =$ ．
②若m、 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 为正整数，则符合条件的有序实数对 $(x_{1} ， x_{2})$ 有个

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{4} - 202 3^{0} + 2 c o s 60 °$

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20. 先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ ．

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21. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别为 $A B 、 A C$ 的中点，点H在线段 $C E$ 上，连接 $B H$ ，点G、F分别为 $B H 、 C H$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 为平行四边形

(2)、 $D G ⊥ B H ， B D = 3 ， E F = 2$ ，求线段 $B G$ 的长度．

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22. 某花店每天购进 $16$ 支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了 $10$ 天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
          $13$
          $14$
          $15$
          $16$
          $17$
          $18$
天数
1
1
2
4
1
1

(1)、求该花店在这 $10$ 天中出现该种花作废处理情形的天数；

(2)、当 $n < 16$ 时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为： $y = 10 n - 80$ ；当 $n \geq 16$ 时，日利润为 $80$ 元．
①当 $n = 14$ 时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这 $10$ 天中日利润为 $70$ 元的日需求量的频率．

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23. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰 $P O Q$ 遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知 $∠ P O Q = 30 ° ， B C ∥ O Q$ ， $O C ⊥ O Q ， A O ⊥ O P$ ，线段 $A O$ 的延长线交直线 $B C$ 于点D．

(1)、求 $∠ C O D$ 的大小；

(2)、若在点B处测得点O在北偏西 $α$ 方向上，其中 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{5} ， O D = 12$ 米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）

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24. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点 $A (t ， 0)$ ，点 $P (1 ， 2)$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图像上

(1)、求k的值；

(2)、连接 $B P 、 C P$ ，记 $△ B C P$ 的面积为S，设 $T = 2 S - 2 t^{2}$ ，求T的最大值．

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25. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是半径为R的 $⊙ O$ 的内接四边形， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A B D = 45 °$ ，直线l与三条线段 $C D$ 、 $C A$ 、 $D A$ 的延长线分别交于点E、F、G．且满足 $∠ C F E = 45 °$ ．

(1)、求证：直线 $l ⊥$ 直线 $C E$ ；

(2)、若 $A B = D G$ ；
①求证： $△ A B C ≌ △ G D E$ ；
②若 $R = 1 ， C E = \frac{3}{2}$ ，求四边形 $A B C D$ 的周长．

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26. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = 1 ， c = - 1$ ，且该二次函数的图象过点 $(2 ， 0)$ ，求 $b$ 的值；

(2)、如图所示，在平面直角坐标系 $O x y$ 中，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1} ， 0) ， B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，点D在 $⊙ O$ 上且在第二象限内，点 $E$ 在 $x$ 轴正半轴上，连接 $D E$ ，且线段 $D E$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $F$ ， $∠ D O F = ∠ D E O ， O F = \frac{3}{2} D F$ ．

①求证： $\frac{D O}{E O} = \frac{2}{3}$ ．
②当点 $E$ 在线段 $O B$ 上，且 $B E = 1$ ． $⊙ O$ 的半径长为线段 $O A$ 的长度的 $2$ 倍，若 $4 a c = - a^{2} - b^{2}$ ，求 $2 a + b$ 的值．

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日需求量n	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$
天数	1	1	2	4	1	1