（华师大版）2023-2024学年九年级数学上册22.2.5一元二次方程的根与系数的关系同步测试

试卷更新日期：2023-06-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 一元二次方程x²﹣4x+1=0的两根是x₁ ， x₂ ，则x₁•x₂的值是（　　）

A、4 B、-4 C、1 D、-1

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2. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m < \frac{3}{2}$ B、 $m > 3$ C、 $m \leq 3$ D、 $m < 3$

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3. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 8 x + m = 0$ 两根为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1} = 3 x_{2}$ ，则m的值为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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4. 已知： $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 的两根，且 $x_{1} + x_{2} = 3$ ， $x_{1} x_{2} = 1$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值分别是（）

A、 $a = - 3$ ， $b = 1$ B、 $a = 3$ ， $b = 1$ C、 $a = - \frac{3}{2}$ ， $b = - 1$ D、 $a = - \frac{3}{2}$ ， $b = 1$

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5. 已知关于x的方程 $x^{2} + k x - 2 = 0$ 的一个解与方程 $\frac{x + 1}{x - 1} = 3$ 的解相同，则方程 $x^{2} + k x - 2 = 0$ 的另一个解是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $2$

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6. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 3$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-3 B、-1 C、-3或1 D、-1或3

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7. 已知 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} + 2020 x + 3 = 0$ 的两根，则代数式 $(3 + 2023 a + a^{2}) (3 + 2023 b + b^{2})$ 的值是（）

A、18 B、-18 C、27 D、-27

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8. 有两个关于x的一元二次方程：M：ax²+bx+c＝0，N：cx²+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么 $\frac{1}{2}$ 一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．
其中错误的结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 欧几里得的《原本》记载，形如x²+bx=a²的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC= $\frac{b}{2}$ ，再在斜边AB上截取AD= $\frac{b}{2}$ ．则该方程的一个正根是（）

A、AC的长 B、AD的长 C、BC的长 D、BD的长

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10. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 根的情况是（）

A、无实数根 B、有两个正根，且有一根大于2 C、有两个负根，且都小于-2 D、有一个正根，一个负根

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二、填空题

11. 已知一元二次方程x²-3x＋1＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂-x₁x₂的值等于．

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12. 已知方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $(x_{1} + 2) \cdot (x_{2} + 2)$ 的值为．

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13. 若a、b是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $a + b - a b$ 的值为．

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14. 若关于x的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m + 4 = 0$ 两根的倒数和为1，则m的值为．

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15. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} =$ ．

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三、解答题

16. 已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 8 = 0$ 的两个根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

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17. 在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 3$ ，求m的值.
波波同学的解答过程如框：
解：
由题意可知： ${\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = 2 m - 1 \\ x_{1} \cdot x_{2} = m^{2} \end{array}$
∵ $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = 3$ ，
∴ $m^{2} + (2 m - 1) + 1 = 3$ ，
解得： $m = - 3$ 或 $m = 1$
波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.

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18. 已知x₁ ， x₂是关于x的方程x²-2x+m-2=0的两个实数根，若3x₁+3x₂-x₁x₂=5，求m 的值.

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + 2 k^{2} = 0$ 的两根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ ，求k的值．

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四、综合题

20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x - 3 m^{2} + m = 0$

(1)、求证：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = - \frac{5}{2}$ ，求m的值．

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21. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 $[a ， b] * [c ， d] = a c - b d$ ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： $[3 ， 2] * [5 ， 1] = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 13$ ．

(1)、求 $[- 4 ， 3] * [2 ， - 6]$ 的值；

(2)、已知关于x的方程 $[x ， 2 x - 1] * [m x + 1 ， m] = 0$ 有两个实数根，求m的取值范围．

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22. 已知关于x的一元二次方程x²－4x+m+1＝0有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \geq - 1$ ，求m的所有整数值的和．

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（华师大版）2023-2024学年九年级数学上册22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步测试

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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