（华师大版）2023-2024学年九年级数学上册21.2.3 二次根式的除法同步测试

试卷更新日期：2023-06-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.2}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3^{2}} = \pm 3$ B、 $4 \sqrt{3} - \sqrt{27} = 1$ C、 $\sqrt{24} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 9$

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3. 下列根式中，不是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{9}$

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4. $\sqrt{2}$ 的倒数是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 化简＝（）

A、2 B、 C、6 D、

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6. $| - \sqrt{2} |$ 的相反数的倒数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 下列计算错误的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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8. 在式子 $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{0.5}$ ， $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 中，最简二次根式的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. $\sqrt{m + n}$ 的一个有理化因式是（）

A、 $\sqrt{m + n}$ B、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ C、 $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ D、 $\sqrt{m - n}$

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10. 若最简二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 x}$ 是同类二次根式，则x的值为（）

A、x＝0 B、x＝1 C、x＝2 D、x＝3

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二、填空题

11. 计算： $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} =$ ．

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12. 当x=时，最简二次根式 $\sqrt{3 x + 5}$ 与 $2 \sqrt{2 x + 7}$ 能够合并．

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13. 化简： $\sqrt{(\sqrt{7} - 3)^{2}} =$ ．

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14. 若最简二次根式 $\sqrt{7 a + b}$ 与 $\sqrt[b + 3]{6 a - b}$ 是同类二次根式，则 $a + b$ 的值为．

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15. 写出一个最简二次根式a，使得 $2 < a < 3$ ，则a可以是．

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $\frac{m^{2}}{m^{2} + 4 m + 4} \div \frac{m}{m + 2} - \frac{m - 1}{m + 2}$ ，其中 $m = \sqrt{3} - 3$ ．

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17. 化简并求值：已知 $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $x^{2} - 2 x + 3$ 的值．

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18. 阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$
∴ $. a - 1 = \sqrt{2}$ ，
∴ $a^{2} - 2 a = 1$ ，
∴ $3 a^{2} - 6 a = 3 ， 3 a^{2} - 6 a - 1 = 2$ .
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 $∵ a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $2 a^{2} - 12 a + 1$ 的值.

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19. 已知 $x = \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ，求 $\frac{x^{2} - 6 x + 7}{x - 3}$ 的值．

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四、综合题

20. 在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $a + 1$ 的值．
小华是这样解答的： $∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3} ∴ a + 1 = 3 - \sqrt{3}$ ，请你根据小华的解题过程，解决下列问题．

(1)、填空： $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =$ ； $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} =$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{289} + \sqrt{288}}$ ．

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21. 在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} ， \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ 的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．
例如： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

(1)、用上述方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) \times (\sqrt{2023} + 1)$ ．

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22. 阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如： $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ．

(1)、请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：，这样化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = \sqrt{6} + 2$ ．

(2)、请仿照上述方法化简： $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ ；

(3)、比较 $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ 与 $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ 的大小．

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23. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$
方法二： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$

(1)、请用两种不同的方法化简： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2020}}$ ．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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